用 MuJoCo 测量乒乓球物理特性：回弹、阻力和旋转取决于模拟器的一行设置

状态：草稿 (2026-10-18)，实测。球物理第一阶段 (A–E) 完成。 基于此模型运行的经典控制基准线在 第 5 篇中介绍，强化学习将在后续篇章中撰写。 测量于 2026-10-18 在家庭实验室 Kubernetes 的一个临时 Pod 中进行。节点为一台迷你 PC (Intel Core Ultra 9 185H)，Pod 上限为 3 个 CPU 核心、3 GiB 内存、 无 GPU，关闭离屏渲染（MUJOCO_GL=disable）。镜像基于 python:3.12 ，通过 pip 添加了 mujoco 3.16.0、numpy 2.5.4、scipy 1.18.1（安装耗时 11.6 s）。 Pod 内存峰值为 725 MB。由于 MuJoCo 对相同的输入产生相同的结果，表中的数值均为运行一次的结果，离散度则通过接触相位（A4，50 种）和 球样本（D，500 个）分别得出。原始数据位于工作目录 tt-robot/out/（表格和图表）和 tt-robot/logs/（运行日志）中。

目录

• 1. 直觉：2.7 g 的球对设置很敏感
• 2. 模型：直接使用 DeepMind 公开的 MJCF 数值
• 3. 30 cm 下落：球弹得太高了
• 4. 空气：马格努斯力比文献强 4.2 倍
• 5. 斜向弹跳：球台太滑了
• 6. 公开的 500 个初始状态：什么对结果的影响最大
• 7. 球拍：球穿透了球板
• 8. 计算成本低
• 9. 局限性
• 10. 转入下一篇
• 参考资料

1. 直觉：2.7 g 的球对设置很敏感

乒乓球直径 40 mm，重 2.7 g。以 7 m/s 飞行的球受到的空气阻力与重力大小相当，当旋转很大时，甚至会超过重力。 球接触球台的时间大约为 1 ms。因此，模拟器的时间步长、接触硬度、流体系数等几个设置会极大地改变球的轨迹。

要教机器人打乒乓球，首先必须弄清楚“模拟器里的球飞得是否像真球”。在还没有真实球的轨迹的情况下，本文所做的工作是： 直接代入公开的设置，与文献数值进行对照，并测量哪种设置对结果的影响最大。

2. 模型：直接使用 DeepMind 公开的 MJCF 数值

DeepMind 在发布 ICRA 2025 乒乓球论文的同时，公开了 15,792 个球的初始状态（13,088 个拉球，2,704 个发球）以及 MuJoCo Notebook。 我们直接使用了 Notebook 中的数值。

MuJoCo 在 qfrc_fluid 中单独记录流体受力。关闭重力，仅施加速度和旋转后读取该值，即可直接测量阻力和马格努斯力。

s = Sim(base.with_(gravity=False))
for v in [2, 5, 10, 15, 20, 25, 30]:
    s.reset([0, 0, 1], [0, v, 0], [0, 0, 0])
    fd = -s.d.qfrc_fluid[1]                    # 진행 방향 반대 힘 = 항력
    cd = fd / (Q * v * v)                      # Q = ½ρA
    for S in [0.0, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 1.0]:   # 회전비 S = rω / v
        w = S * v / BALL_R
        s.reset([0, 0, 1], [0, v, 0], [-w, 0, 0])   # 탑스핀
        fm = -s.d.qfrc_fluid[2]                # 아래로 누르는 힘 = 마그누스
        km = fm / (w * v) if w > 0 else float("nan")

（摘自 TT Lab 实验代码 exp_b_magnus.py 。 Sim 是一个用于构建 MJCF 并调用 mj_forward 的小型封装器。）

3. 30 cm 下落：球弹得太高了

ITTF 规定，从 30 cm 处落下的球应该弹起约 23 cm。如果忽略空气阻力，恢复系数 e ≈ √(23/30) = 0.876。

（图中运动为表格的回弹速度，带入了与实测相同的空气阻力 C_D 0.471 后重新绘制。重新绘制的顶点为 26.4 cm 和 195.9 cm，与表格一致。）

• DeepMind 数值中的球台比规定更具弹性。 即使将 dt 改为 0.25–1 ms，e 也是 0.968–0.978。
• 在 dt 2 ms 时数值会爆炸。 接触刚度 1e6 对应固有频率 ω₀ = √k = 1,000 rad/s，当 ω₀·dt 达到 2 时，接触积分会产生能量。 第 7 节的球拍接触测量中，ω₀·dt ≤ 1 附近也显示为稳定边界。
• 仅靠阻尼即可匹配。 保持刚度 1e6 不变，仅用二分法改变阻尼 b，当 b = 83.8 时 e = 0.876（规定），当 b = 38.5 时为 0.946（+8%），当 b = 128.1 时为 0.806（−8%）。 DeepMind 默认值 0.978 的 +8% 超过了 1，因此无法通过阻尼来实现。
• 根据接触相位的离散性。 即使是相同的下落，根据接触在时间间隔之间开始的位置不同，e 也会有所变化。用 50 种相位测量时，标准差在 dt 为 0.25 ms 时为 0.005， 在 0.5 ms 时为 0.012，在 1 ms 时为 0.005–0.008；而在 dt 为 1 ms 时，最大甚至达到 1.002，超出了 1。这种离散性会作为较小的观测噪声进入强化学习中。

将碰撞速度更改为 1–8 m/s 时，差异更加明显。MuJoCo 的 e 在 0.96–0.99 之间，几乎是平坦的；而 Sony AI 2026 的公式（e = 0.98 − 0.02·入射速度）显示速度越快 e 越低。

4. 空气：马格努斯力比文献大 4.2 倍

• 有效 C_D 在 2–30 m/s 范围内为 0.470–0.474，几乎保持恒定。fluidcoef 的第一个值 0.235 对应于 C_D/2。
• 马格努斯力得出为与速度和旋转成正比的常数 k_M = 2.053e-5。转换为升力系数则为 C_L = 1.33·S，而 TT3D 为 0.316·S。
• 如果给以 7 m/s 飞行的球施加 300 rad/s 的下旋，MuJoCo 的马格努斯力约为 43 mN，大于 26 mN 的重力。球会向上浮起。 我们认为实际球类运动中不会发生这种情况，但并未亲自动手验证（推测）。
• 有研究报告了在转速比接近 0.5 时升力突变的现象（lift crisis），但无论是 MuJoCo 还是文献公式，系数为常数的模型都无法描绘出这一点。

对于相同的击球（机器人端底线后 y = −1.6 m，高度 0.2 m 处速度为 (0, 7, 1.6) m/s），仅改变旋转就会在落点上暴露出差异。

无旋转球时两个模型几乎完全相同，而一旦加入旋转，MuJoCo 一侧就会产生巨大偏差。问题在于，公开数据的旋转值可能是专门针对该 MJCF 创建并配合使用的（推测）。 如果真是如此，旋转值和马格努斯系数必须成对使用，绝对不能单方面替换为文献值。第 6 节的敏感度分析就是依据。

5. 斜向弹跳：球台偏滑

组合了球台正上方水平速度 3、6、9 m/s，垂直速度 2、4 m/s，旋转 −300、0、+300 rad/s，并对比了弹跳前后的状态。

• DeepMind 数值中的有效摩擦系数约为 0.10。 这与设定的摩擦力 0.1 相同，但小于文献中的 0.25–0.3。 例如，以水平 6 m/s、垂直 4 m/s、无旋转进入的球，弹跳后的水平速度为 5.19 m/s。TT3D 公式为 3.78 m/s，Sony 公式为 4.10 m/s。
• 即使在弹跳后，接触点仍在继续滑动。而文献公式在相同的输入下，很多情况下会以纯滚动结束。
• 即使将 e 调整为规定值、摩擦力调整为 0.3 的 MuJoCo，在滑动区间内 μ 仍保持 0.30 不变，但在滚动区间内有效 μ 残留了 0.07–0.17。 我们认为这是因为摩擦方向的接触设置（solreffriction）只有阻尼，无法让滑动彻底停止（推测）。
• 在垂直速度 2 m/s 并赋予下旋的某些情况下，e 达到了 1.08–1.16，超出了 1。我们认为这是由摩擦与垂直方向接触交织产生的（推测）。这是下次修正时需要一并调整的项目。

6. 500 个公开初始状态：什么因素引起的波动最大

在 13,088 个拉力回合中，从飞向机器人方向的 11,999 个球里随机抽取了 500 个（seed 0），并用 DeepMind 数值的 MuJoCo（dt 1 ms）进行模拟飞行。 公开数据中没有轨迹，只有初始状态。 因此，下面并非与真实球的对比，而是“在相同初始状态下模拟器输出的值”及其敏感度。

我们通过仅改变设置重新发射相同的 500 个球，并成对观察它们在击球平面上的位置差异。由于球拍板的半宽约为 7.5 cm，如果差异超过几厘米，策略就会挥空。

• 影响最大的是马格努斯效应。 如果将其降至文献强度，落在球台上的球将从 500 个减少到 385 个（77%）。这表明数据中的旋转值与系数是绑定在一起的。
• 球台回弹率 ±8% 会导致 5% 的球产生约 10 cm（95% 位置为 9.8–10.1 cm）的偏差。 这比球拍半宽还要大。这与 DeepMind 在 RSS 2023 论文中报告的观察结果（基于调查文档）方向一致，即“球台回弹偏差 8% 会导致奖励大幅下降”。
• 如果只看球，时间间隔 1 ms 就足够了。 即使将 dt 缩减到 0.5 ms 和 0.25 ms，击球平面差的中位数也在 1 cm 以内。当引入球拍时情况就有所不同了，这将在第 7 节中讨论。

7. 球拍：球穿透球板

我们将球拍板（15×16 cm，厚度 6 mm·14 mm）固定并正向发射乒乓球。通过在 30–50 种不同的接触起始时间间隔（相位）下进行扰动，统计了是反弹还是穿透。

• 如果将 DeepMind 的球台刚度（1e6）直接应用于球拍，高速球将穿透球板。 6 mm 的板从 25 m/s 开始、14 mm 的板从 30 m/s 开始，所有 50 次测试均发生完全穿透，即使将 dt 缩减到 0.25 ms 也是如此。 因为如果球嵌入板中的深度（通过线性近似为速度/√k，40 m/s 时为 40 mm）超过了“球半径 + 板厚度的一半”，球心就会穿过板中心导致法线翻转。 “由于单步跨度太大而错过接触”的最初假设仅在 dt 为 2 ms 时成立。
• MuJoCo 默认接触（solref 0.02 1）对球来说太软了。 即使在 10 m/s 下，所有条件也都发生了穿透。
• 如果提高刚度，这次数值会在较大的 dt 下产生跳跃。 在下方的网格中，√k·dt 超过 1 的单元格出现了 e > 1.05 的跳跃情况，而小于等于 1 的单元格在刚度 4e6 及以上时既没有穿透也没有不稳定。

结论。 物理时间间隔为 0.5 ms，球拍接触采用 solref（−4e6, −34）（阻尼比与 DeepMind 的值相同）。在 14 mm 板、40 m/s 的条件下，穿透次数为 0/30，不稳定次数为 0/30。 在此设置下测得的球拍恢复系数在 4 m/s 时为 0.931，在 8 m/s 时为 0.893，这比 Sony AI 2026 公式（0.80, 0.72）要大。它并不是一个与真实橡胶的嵌入深度和接触时间完全匹配的值（未确认）。 球台保留了 DeepMind 的刚度。我们认为撞击球台的垂直速度不会超过 8 m/s（估计值），并且在 8 m/s 之前，第 3 节中的设置是稳定的。

8. 计算开销低

仅包含球和球台的模型在单核上每秒可运行 23 万至 36 万步。由于节点负载不同，我们进行了两次相同的测量，得到了不同的结果（后一次测量：在 dt 0.25–1 ms 下为 229,806–239,229 步/秒）。 当 dt 为 0.5 ms 时，相当于实时速度的 120–180 倍。如果使用 3 个线程同时模拟 512 个球，则为每秒 58 万至 122 万步。 包含 2 轴龙门架和 2 轴手腕机器人的模型在 dt 为 0.5 ms、单线程下为每秒 152,611 步（76 倍实时）。这个阶段不需要 GPU。 实验时间也很短。下落批次（A）为 11.3 s，空气动力学批次（B）为 3.6 s，弹跳（C）为 0.5 s，500 个敏感度（D）为 28.7 s。

9. 局限性

• 我们没有与真实球的轨迹进行对比。 对比对象是文献中的值，文献中的值也没有由我们重新测量。下一步是使用我们自己的摄像机拍摄的轨迹来拟合系数。 由于当前 30 fps 的记分牌摄像机几乎捕捉不到弹跳瞬间和旋转，因此需要高速摄像机。
• 公开的旋转值是通过哪种模型估计得出的尚未得到确认（未确认）。“这与此 MJCF 配套”的解释只是一种推测。
• Tebbe 公式的力形式和 Sony 公式的马格努斯系数（旋转比函数）在本文中未作为数值使用或仅作为估计值处理。
• 图中的下落运动是用实测反弹速度重绘的。按旋转分类的落点图仅绘制了表中的落点位置，并未绘制 MuJoCo 轨迹本身。

10. 下期预告

将机器人放置在该球模型上，并运行“观察、预测、挥拍”经典控制基准测试的结果在 第 5 篇中。强化学习将通过能否超越该基准来进行评估。 关于如何构建机器人的身体，将在紧接着的 第 3 篇中介绍。

TT 的小贴士。 明明是同一个球，仅仅改了一行模拟器设置，原本偏离 26 cm 的球就飞高了将近 2 m。可不能因为乒乓球轻就轻视它。请将系数与数据作为一个整体来处理！

参考资料

所有链接均已于 2026-10-18 验证可访问。

• DeepMind, Achieving Human Level Competitive Robot Table Tennis(ICRA 2025): https://arxiv.org/abs/2408.03906
• 公开数据与 MuJoCo 笔记本: https://github.com/google-deepmind/competitive_robot_table_tennis（初始球状态，© 2025 Google LLC, CC BY 4.0。本文不重新分发数据，仅发布抽取 500 个球通过模拟器发射的结果。）
• DeepMind, Robotic Table Tennis: A Case Study into a High Speed Learning System(RSS 2023): https://arxiv.org/abs/2309.03315
• Sony AI, Physics Models for Sim-to-Real Transfer in Professional-Level Robot Table Tennis(2026): https://arxiv.org/abs/2606.28805
• TT3D: Table Tennis 3D Reconstruction(2025): https://arxiv.org/abs/2504.10035
• MuJoCo 流体模型文档: https://mujoco.readthedocs.io/en/stable/computation/fluid.html, MuJoCo 仓库: https://github.com/google-deepmind/mujoco
• Tebbe 等人 (2020) 的系数以及旋转比 0.5 附近的升力危机（lift crisis）报告 (Miyazaki, 2017) 是在调查阶段确认过原文的值，本次未重新核对链接。
• 引用的代码是 TT Lab 实验代码。