乒乓球机器人的经典控制基线：看见、预测、挥拍，能回击几个？

状态：草稿（2026-10-18），实测。相机周期、噪声、延迟以及机器人的速度和力限均采用假设值。 测量于 2026-10-18 在与第二篇相同的临时 Pod（迷你 PC 节点 Intel Core Ultra 9 185H，上限 CPU 3 核、内存 3 GiB，无 GPU，mujoco 3.16.0）中进行。 物理时间步长 0.5 ms，球拍接触 solref 为 (−4e6, −34)（第二篇第 7 节设定的值）。球使用了 DeepMind 公开的初始状态中与第二篇相同的 500 个样本（seed 0）的前 100 个， 由于时间关系，延迟 100 ms 和 30 Hz 的条件仅运行了前 50 个。每个条件运行了一次。前三个条件共 300 次运行耗时 1,573 s（3 个进程）。 原始数据位于工作目录 tt-robot/out/（三个 F1 表格及各轮次原始数据 JSON）与 tt-robot/logs/ 中。

目录

• 1. 直觉：强化学习必须超越的底线
• 2. 机器人：2 轴龙门架 + 2 轴手腕
• 3. 管道：每个阶段一个函数
• 4. 结果
• 5. 是什么导致了失败
• 6. 局限性
• 7. 下一篇预告
• 参考

1. 直觉：强化学习必须超越的底线

当我们要用强化学习来训练乒乓球机器人时，首先必须确立「打得好」的标准。本文的基线是由人工编写的经典控制。 通过观察球，利用物理公式预测其飞行轨迹，计算击球位置和球拍角度，并将机械臂移动到该位置。其中不包含任何学习过程。 只有搞清楚这个基线能回击几个球，以及它在 哪里 失败了，我们才能说明强化学习究竟带来了哪些改进。

2. 机器人：2 轴龙门架 + 2 轴手腕

第 3 篇的硬件规划中，这对应于「2 轴导轨 + 2 轴手腕」（第 2、3 阶段）的形态。由于龙门架没有深度（y）轴，球拍能触及的 y 与球的纵向位置相交的瞬间即为击球时刻。

3. 管道：每个阶段一个函数

1. 球状态估计。 假设相机仅观察球的位置（120 Hz，噪声 σ 3 mm，延迟 30 ms），通过最小二乘法拟合位置、速度和旋转。由于旋转仅通过轨迹的弯曲来体现，因此设置了一个向先验值拉扯的项。
2. 飞行预测。 使用 RK4 求解重力、阻力和马格纳斯力，球台反弹则通过冲量模型处理。系数采用了第二篇中测得的仿真器数值。
3. 击球决策。 通过击球法计算将球送回目标落点（对方球场中央）所需的回弹速度，并利用镜面法则与冲量模型确定球拍法线和挥拍速度。
4. 逆运动学。 手腕的两个角度可直接从法线得出，龙门架只需做一次减法（见下方代码）。
5. 关节轨迹。 从当前状态到击球瞬间的（位置、速度、加速度为 0）通过五次多项式进行连接。pitch 的击球速度即为挥拍速度。
6. 关节控制。 通过计算力矩（PD + 前馈）进行跟踪，并在力极限处进行截断。
7. 重新规划。 在反弹前 0.2 s 进行一次规划，反弹后每隔 50 ms 根据新的观测结果重新拟合，并将轨迹拼接起来。

def ik(c, n, rb):
    """원하는 라켓 면 중심 c 와 법선 n → 관절 [x, z, yaw, pitch]."""
    n = np.asarray(n, float) / np.linalg.norm(n)
    th = math.asin(max(-1.0, min(1.0, n[2])))      # pitch
    psi = math.atan2(-n[0], n[1])                   # yaw
    x = c[0] - rb.L * math.sin(th) * math.sin(psi)  # 갠트리는 손목 오프셋을 빼면 끝
    z = c[2] - rb.L * math.cos(th)
    y_res = c[1] - (rb.y_g - rb.L * math.sin(th) * math.cos(psi))   # 0 이어야 닿는다
    q = np.array([x, z, psi, th])
    ok = bool(np.all(q >= np.array(rb.lo)) and np.all(q <= np.array(rb.hi)))
    return q, y_res, ok

（摘自 TT Lab 实验代码 ttsim.py ，已删去文档字符串和注释。）

正交龙门架的两个轴直接叠加在球拍位置上，因此不存在奇异点、多解或数值逆运动学问题。如果是 6 轴机械臂，则必须通过数值优化和避奇来解决同样的工作。旋转 pitch 可以使球拍面中心的精确速度正好沿着球拍面的法线方向，从而将「朝向哪里」（角度）和「打得多猛」（pitch 速度）清晰地区分开来。

4. 结果

「击中但失败」是球出界和落入自己球场数量的总和。延迟 100 ms 条件下的 50 个球与 30 ms 条件下 100 个球的前 50 个是相同的球，在这 50 个球中，30 ms 条件下的成功率也是 60%。

5. 是什么导致了失败

• 控制并非瓶颈。 球拍跟踪误差中位数为 0.05–0.08 cm，击球时刻误差在 2 ms 左右。力矩达到极限的轮次在真实状态和 30 ms 条件下分别仅有 2 个，而在 100 个球中，五次轨迹超出速度和加速度极限的规划有 0–6 个，全部发生在龙门架轴上。
• 最大的失败在于工作空间（规划失败占 20–30%）。 其中「超出关节极限」有 12–19 起，「球未能到达球拍可触及的 y 位置」有 6–10 起。仅靠在端线后方 38 cm 处固定的平面，无法接住短球和低球。仅看规划成功的球，回击率在真实状态下为 77.5%，30 ms 条件下为 77.9%，文献系数下为 68.6%。这与第 3 篇提出应优先通过 2 阶段轴来解决深度（y）问题的依据方向一致。
• 相机的延迟远比噪声影响大。 在 120 Hz 下，仅将延迟从 30 ms 增加到 100 ms，成功率就从 60% 暴跌至 26%，击球时刻的球预测误差中位数从 3.8 cm 增大到 9.7 cm。在 30 Hz·100 ms（假设为目前使用的记分牌相机级别）的条件下仅为 2%。由于本实验将规划时刻固定为 0.2 s，如果采用适应 30 Hz 并等待更多观测的策略，结果可能会略有提升（推测）。这与第 3 篇中「花钱减少相机延迟比升级电机更划算」的计算结论完全一致。
• 系数不准会导致性能下降 12%p。 当仿真器使用 DeepMind 的数值时，仅将规划器换成文献系数，成功率就从 60% 降至 48%，落在自己球场上的球从 2 个增加到 9 个。第二篇中观察到的马格纳斯力强度差异（4.2 倍）直接导致了击球失败。在真实机器人上，利用我们的相机轨迹来拟合系数将直接决定成功率的高低。
• 即使知道真实状态也只有 62%。 剩下的失败归咎于规划器的冲量模型与 MuJoCo 接触模型之间的差异（这也是为什么即使在真实状态下预测误差也有 1.9 cm，「击中但球出界」有 16 起）以及工作空间受限。我们推测，强化学习能够胜过经典方法的地方正在于这种「模型差异」（推测），因为它是直接从仿真器本身而非解析模型中进行学习的。

6. 局限性

• 相机周期、噪声、延迟以及机器人的速度和力极限均为假设值。我们相机的实际延迟分布尚未进行测量（未确认）。
• 每个条件下的球数量为 50–100 个且各运行了一次。样本太少，无法给出成功率的置信区间。
• 球拍是一个赋予了摩擦力的方块，在此设置下测得的有效摩擦力在 45° 入射时为 0.047。由于几乎不具备制造旋转的能力，因此未处理瞄准和旋转回击。
• 由于未保存每轮次的轨迹（球和球拍在每个步骤的位置），本次未能制作出同时展示成功回击球与因延迟漏球的对比动图。我们将在下一次测量中一并保留轨迹数据。

7. 下一篇预告

接下来，我们将把两种强化学习方法（仅学习击球参数的混合方法、直接输出关节目标的方法）与该基线进行并排对比，条件采用相同的球样本、相同的相机假设以及相同的机器人极限（第 7 篇）。在此之前，我们将在 第 6 篇中通过阅读原文来探讨 DeepMind 机器人的局限性，并借助仿真器分析旋转问题。 我们还会一并列出各项失败原因的具体数量，以便展示强化学习究竟减少了哪些失败。

小蒂碎碎念。 机械臂明明以 0.7 mm 的误差精准移动了，十个球却还是漏掉了四个。问题不在手臂，而在位置（工作空间）和眼睛（延迟）。请先给我一双能快点看清的眼睛吧！

参考

所有链接均已于 2026-10-18 确认可正常访问。

• DeepMind, Achieving Human Level Competitive Robot Table Tennis(ICRA 2025): https://arxiv.org/abs/2408.03906
• 公开的初始球状态: https://github.com/google-deepmind/competitive_robot_table_tennis（© 2025 Google LLC, CC BY 4.0。数据未重新发布，仅收录了仿真结果。）
• TT3D: Table Tennis 3D Reconstruction(2025, 规划器的文献系数): https://arxiv.org/abs/2504.10035
• Sony AI, Physics Models for Sim-to-Real Transfer in Professional-Level Robot Table Tennis(2026, 球拍反弹公式比较): https://arxiv.org/abs/2606.28805
• MuJoCo: https://github.com/google-deepmind/mujoco
• 引用的代码为 TT Lab 实验代码。