乒乓球机器人回球全过程：分步仿真视频中的计算解析

状态：草稿（2026-10-18），实测。画面和文中的数值均为仿真器内部的值，摄像头周期、延迟和噪声均为假设值。 录制与渲染于 2026-10-18 在家庭实验室（Home Lab）Kubernetes 的一个 Mini PC 节点上以临时 Pod 形式完成。Pod 资源上限为 CPU 6 核、内存 3 GiB（峰值使用 1.5 GiB），未使用 GPU。 环境版本为 MuJoCo 3.16.0、Python 3.11、numpy 2.3.4、Mesa 23.2.1（llvmpipe, OSMesa）、ffmpeg 4.4.2（libx264）。物理与控制部分与第 7 篇相同（时间步长 0.5 ms，控制频率 1 kHz，学习型混合策略种子 0）。 对评估用的第 201 号球进行了四种情况的测试（学习型混合策略延迟 30 ms·100 ms、传统基准线 30 ms、无学习的标称规划器 30 ms）。由于是确定性执行，各运行了一次，四个结果均与第 7 篇评估文件中同一球、同一条件的结果（结果类型及着陆点）一致。 原始数据（录制 out/rec/ball201.json、文中数值 out/facts.json、录制·渲染·绘图脚本）位于工作目录 measure/sim-tt-video/ 中。

目录

• 1. 直观理解：1.3 秒内发生的七项计算
• 2. 视频与图表的制作方法
  • 2.1 整体流程
  • 2.2 录制：在不改变计算逻辑的前提下导出数据
  • 2.3 渲染：数值来自录制，图表使用专用展示模型
• 3. 第 1 步：观测——捕获的点延迟到达
• 4. 第 2 步：预测——二次曲线拟合与 RK4·弹跳模型
• 5. 第 3 步：击球决策——从着陆点逆向推算
• 6. 第 4 步：逆运动学——四行闭式解
• 7. 第 5 步：轨迹与挥拍——在 39 ms 内重新规划的路径
• 8. 第 6 步：接触——发生在 1 ms 内的事
• 9. 第 7 步：着陆——距离目标 3.7 cm
• 10. 对比：相同的球，不同的方法与不同的延迟
• 11. 制作过程中的遭遇
• 12. 局限性与未测项
• 13. 下篇预告
• 参考资料

1. 直观理解：1.3 秒内发生的七项计算

第 5 篇和第 7 篇是通过 500 个球的成功率来讨论的。虽然数字很准确，但机器人接一个球的过程中， 计算了什么以及何时计算并不直观。这一次，我们从头到尾追踪一个球，将每一瞬间机器人脑海中的数值展示在屏幕上。

从公开数据的初始状态（对方底线上方、向我方飞来的球）到经过我方机器人并落在对方球场上，共计 1.307 s。这期间包含七个步骤：

1. 观测。 摄像头拍摄球的位置，该数据点会有所延迟地到达。
2. 预测。 根据到达的数据点拟合球的状态，并外推未来的轨迹。
3. 击球决策。 从目标着陆点逆向推算，决定何时、何地、以何种拍面角度和多大力量击球。
4. 逆运动学。 将该球拍姿态转换为四个关节的目标值。
5. 轨迹与挥拍。 在当前姿态与目标姿态之间为每个关节连接五次多项式并进行跟踪。
6. 接触。 球接触球拍，速度和旋转发生改变。
7. 着陆。 球落在对方球场上。

机器人的配置与第 5 篇相同，为实际尺寸的龙门 2 轴（x 轴横向、z 轴纵向）+ 手腕 2 轴（偏航 yaw、俯仰 pitch），控制采用第 7 篇的学习型混合策略。该策略仅修正 6 个击球参数，其余均由下文所述的传统计算完成。

2. 视频与图表的制作方法

2.1 整体流程

视频分辨率为 1280×720，30 fps，时长 65.6 s（1,967 帧），H.264 编码，大小 2.6 MB。由于单篇文章视频时长限制在 30 s 以内，因此在各节中放置了分步骤剪辑片段（4.7–8.1 s），并在其下方附上了对应瞬间的静态图表。

2.2 录制：在不改变计算逻辑的前提下导出数据

第 7 篇的录制轨迹（rec_*.json）中仅包含 5 ms 间隔的球与球拍位置。为了展示分步计算过程，我们需要观测点、拟合的二次曲线、预测轨迹、各决策阶段的规划以及关节基准值，因此使用相同的环境和种子（每个球为 777000 + 球编号）重新运行了仿真。 环境代码保持未修改，仅在子类中进行读取。在每个 1 kHz 的控制周期复制状态，并在每个决策点复制估计值与规划结果。

class RecEnv(ttenv.TTEnv):
    def _tick(self, qr, vr, ar):
        done = super()._tick(qr, vr, ar)          # 물리·제어는 원래 코드 그대로
        d = self.d
        v, w = ball_world(self)                   # 세계 좌표 속도·각속도
        self.ticks.append([round(self.t, 6), *d.qpos[:11].tolist(), *d.qvel[6:10].tolist(),
                           *np.asarray(qr).tolist(), *v.tolist(), *w.tolist(), ...])
        return done

来源：TT Lab 实验代码 sim-tt-video/src/vid_record.py（略去接触显示列）。

录制结果（结果类型、落点）与第 7 篇评估文件中相同球、相同条件的值进行了核对，四种情况下均完全一致。这证实了相同的计算流程被再次执行。

2.3 渲染：数值来自录制，图表使用专用展示模型

物理模型的机器人除了球拍外没有其他几何形状，若直接渲染则只有球拍悬浮在空中。因此，我们单独制作了一个关节配置（qpos 顺序、位置、轴、球拍大小）相同的 专用展示模型，为其添加了导轨、滑块、手腕和手柄，并将录制的 qpos 直接输入其中，通过 MuJoCo 的离屏渲染器进行渲染。该模型不计算接触。 观测点、预测轨迹、击球点等标记作为几何体放入 MuJoCo 场景中，字幕和数字则使用 NanumGothic 字体绘制在渲染帧之上。画面中的所有数字均读取自录制文件，仅进行速率（向量大小）、角度、cm 换算等直观展示所需的计算。 1 ms 记录间隔之间的帧（在 1/20 倍速下为 1.67 ms 间隔）通过对球和关节位置进行线性插值来渲染。

3. 第 1 步：观测——捕获的点延迟到达

• 摄像头以 120 Hz（约 8.3 ms 间隔）拍摄，位置带有标准差 σ = 3 mm 的噪声。在仿真器中，由于拍摄与 1 ms 控制周期对齐，实际间隔为 8–9 ms。
• 拍摄的点在 30 ms 后才到达机器人。在 0.2 s 进行第一次决策时，拍摄的点有 24 个，到达的点有 21 个。最后 30 ms 内的球对机器人而言尚不可见。
• 对手击球时的初始速率为 7.78 m/s，以运动方向为基准的上旋为 53.8 rad/s（引自 DeepMind 公开数据的初始状态）。

通过观测估计球状态的一般理论（如卡尔曼滤波等）可参见《乒乓球机器人手臂基础》第 6 篇“球飞行方程”。

4. 第 2 步：预测——二次曲线拟合与 RK4·弹跳模型

计算。 对到达的点（最多最近 36 个）进行关于时间的空间位置二次曲线最小二乘拟合，从而获取最后观测时刻的位置、速度和加速度。0.2 s 时的拟合使用了 21 个观测点，加速度为 (1.56, 6.90, −13.49) m/s²。 从加速度中减去重力和空气阻力，将剩余部分视为马格努斯力 (k_M/m) ω×v 并求解 ω。由于旋转仅表现为加速度的微小差异，因此设置了一个向 0 拉扯的先验项（标准差 300 rad/s）。 以此状态，用 4 ms 步长的 RK4 推进规划器的物理模型（阻力系数 0.471、马格努斯系数、球台反弹 0.975·摩擦 0.10），若触台则通过冲量模型进行反弹。

预测的弹跳比实际早 14 ms，位置超前 10.3 cm。旋转估计的偏差最大（正如第 6 篇中所见，仅凭位置很难精准观测旋转）。

弹跳后的重新拟合。 当到达点的高度达到最低点并再次回升超过 1 cm 时，机器人将其判定为弹跳。该球在 0.425 s 被判定为弹跳，随后在收到 4 个观测点后的 0.497 s 做出了第二次决策。 若观测点少于 6 个，则将加速度设为重力并仅拟合直线，旋转则直接采用将初次估计通过弹跳模型计算后的值 (131, −25, 4) rad/s（真值为 (98, −7, 15)）。该计算公式位于《乒乓球机器人手臂基础》第 6 篇的“重力·阻力·马格努斯与弹跳模型”一节中。

5. 第 3 步：击球决策——从着陆点逆向推算

计算。 依次求解三个要素：

1. 出射速度。 目标着陆点为对方球场中心 (0, 0.75) m。设定水平速率为 4.5 m/s 并确定飞行时间 T = 距离 / 4.5，随后挑选使纯重力抛物线恰好到达球台高度的 v_z。
2. 拍面法线与拍面速度。 将出射速度与入射速度之差的方向抓取为法线 n，并结合反弹系数 e 确定法线方向的拍面速度 v_pn = v_in·n + (Δv·n)/(1+e)。通过包含摩擦力的冲量模型重新计算预期结果并进行三次修正。
3. 击球时刻。 龙门架没有深度 (y) 轴，因此球拍能够触及的 y 坐标仅由手腕角度决定。预测轨迹穿过该 y 坐标的时刻即为击球时刻。

def _v_des(self, b):
    dx, dy = TARGET[0] - b[0], TARGET[1] - b[1]
    dist = math.hypot(dx, dy)
    vh = 4.5
    Tf = dist / vh
    vz = (T.BALL_R - b[2] + 0.5 * G * Tf * Tf) / Tf
    return np.array([dx / dist * vh, dy / dist * vh, vz])

来源：TT Lab 实验代码 rl/src/ttenv.py（与第 7 篇相同的文件）。

学习到的策略会在此标称值上加上 6 个修正（范围为：面 yaw 和 pitch 各 ±20°，面速度 ±1.5 m/s，击球时刻 ±20 ms，球拍中心 x 和 z 各 ±6 cm）。

将策略输出转换为单位后为：yaw +4.7°、pitch −4.0°、面速度 +0.63 m/s、击球时刻 +7.0 ms、中心 x −0.6 cm、z −2.7 cm。从期望落点反推球拍速度和法线的方程位于《乒乓球机器人手臂基础》第 7 篇打击方程中。

6. 四步逆运动学：四行闭式解

由于龙门架采用直角坐标，逆运动学无需迭代计算即可完成。手腕的两个角度可直接从所需的法线求出，龙门架的两个轴只需用球拍中心减去手腕偏移量即可。

def ik(c, n, rb: Robot):
    n = np.asarray(n, float) / np.linalg.norm(n)
    th = math.asin(max(-1.0, min(1.0, n[2])))
    psi = math.atan2(-n[0], n[1])
    x = c[0] - rb.L * math.sin(th) * math.sin(psi)
    z = c[2] - rb.L * math.cos(th)
    y_res = c[1] - (rb.y_g - rb.L * math.sin(th) * math.cos(psi))
    q = np.array([x, z, psi, th])
    ok = bool(np.all(q >= np.array(rb.lo)) and np.all(q <= np.array(rb.hi)))
    return q, y_res, ok

来源：TT Lab 实验代码 sim/ttsim.py（已省略说明注释）。

球拍中心为 c = b − n·(球半径 + 球拍厚度/2) 加上策略的中心修正值。四个值均在极限范围内，因此没有被截断的值。 y_res 是龙门架无法对齐的深度方向差值，在标称规划中为 0，而在引入策略修正的第一目标中为 −2.9 cm。关于多解、奇点以及无解等常规手臂问题，请参考《乒乓球机器人手臂基础》第 4 篇逆运动学。

7. 第五步轨迹与挥拍：在 39 ms 内重新规划路径

计算。 每次做出决策时，都会根据当前的关节位置、速度和加速度，为每个关节连接一条五次多项式，一直延伸到打击瞬间的目标（位置 q、速度 (0, 0, 0, −v_pn/L)、加速度 0）。挥拍结束后，pitch 会在 0.12 秒内停下。1 kHz 的计算力矩控制（PD + 前馈，固有频率 50 rad/s）遵循此基准，加速度和速度会在轴极限处被截断。

• 第一次规划（0.200 s，356 ms）。 请求的最大加速度为：横轴 27 m/s²（极限 40），pitch 82 rad/s²（极限 600），留有余量。横轴最高速度为 3.13 m/s，略超 3 m/s 的极限。在 0.497 s 之前，实际值与基准值的差值在 x 方向不超过 0.27 cm，pitch 不超过 0.20°。
• 第二次规划（0.497 s，剩余 39 ms）。 弹地后重新调整的击球位置中，x 平移了 +4.2 cm，z 平移了 −5.2 cm，策略将 pitch 修正了 +6.1°，中心 x 修正了 +3.0 cm。结果，面 pitch 从 0.4° 变为 8.8°，面速度从 1.10 m/s 变为 0.33 m/s。 在剩余的 39 ms 内连接新的五次多项式时，横轴要求达到 323 m/s²（极限 40），高度轴要求达到 98 m/s²（极限 30）。实际值在极限处被截断，导致接触瞬间横轴与基准相差 6.6 cm 。
• 尽管如此，还是击中了。球与球拍中心的最短距离为 5.0 cm，由于球拍面板尺寸为 15×16 cm，因此落在了范围内。接触时间为 0.543 s，比计划的 0.536 s 迟了 7 ms。

五次多项式满足两端位置、速度和加速度的原理以及极限内的最短时间轨迹，可在《乒乓球机器人手臂基础》第 8 篇轨迹生成中找到，计算力矩控制可在第 9 篇控制中找到。

8. 第六步接触：1 ms 内发生的事

视频以 1/10 倍速播放此场景。记录显示球触及球拍的时长为 1 ms 的记录格（两次物理步进）。

• 计划期望的出射速率为 5.06 m/s（仅考虑重力的计算值），实际为 4.89 m/s。
• 接触前夕的 pitch 关节速度为 −2.11 rad/s，推开球拍面的速度为 L·|θ̇| = 0.32 m/s。这与第二次规划的面速度 0.33 m/s 几乎一致。加上龙门架的移动，球拍面中心的速率为 0.69 m/s。
• 旋转矢量仅改变了 1.5 rad/s。由于球的方向反转，入射时的上旋在出射时变成了下旋。由于球拍橡胶的反弹和摩擦力采用的是设定值（摩擦力 0.5），因此实际球拍是否能完好保留这么大的旋转量尚不确定。

9. 第七步落点：距目标 3.7 cm

• 学习型混合策略击出的球从网上方 36.7 cm 处通过，并在接触后 0.674 秒落地。
• 规划原本通过仅考虑重力的抛物线预测最高点为 0.54 m，但实际球升到了 0.68 m。下旋产生的马格努斯力将球托高了。可以说，策略的修正弥补了规划公式的误差。在同一球的测试中，无学习的标称规划器落点短了 22.1 cm。
• 但这只是单个球。在 500 个评估球（120 Hz·30 ms）中，学习带来的净收益使成功率从标称的 80.6% 提升至本策略的 83.8%（第 7 篇）。

10. 比较：相同的球，不同的方法与不同的延迟

经典基线（延迟 30 ms）：未击中，最近距离时相差 28.2 cm。 基线在 0.2 s 时利用 21 个观测值通过最小二乘法一次性拟合出位置、速度和旋转，读出的旋转为 (111, 279, −27) rad/s（真实值为 (55, 3, 15)）。基于该预测，击球位置被设为 x −0.83 m，而当时实际球位于 x −0.54 m。 基线仅从预测弹地后 80 ms 到击球时刻前 80 ms 之间重新规划。由于预测弹地时间为 0.440 s，击球时刻为 0.545 s，该时间窗为空，因此规划仅有 0.2 s 时的一个。而混合策略则从观测中寻找弹地，并在收集到 4 个观测值后立即重新规划进行修正。

学习型混合（延迟 100 ms）：未击中，最近距离时相差 32.4 cm。 这是相同的策略、相同的球。由于在 0.2 s 时仅到达了 13 个观测值（30 ms 延迟时为 21 个），读出的旋转为 (67, −5, 87) rad/s，且绕纵轴 (z) 的侧旋成分较大，因此击球位置被设为 x −0.19 m（当时实际球位置 x −0.55 m）。 弹地后的 4 个观测值直到 0.567 s 才到达，此时该规划算出的击球时刻 0.545 s 已经过去，因而无法使用。在 100 ms 延迟下，基于 500 个样本，本策略的回击成功率为 58.2%，基线为 26.6%（第 7 篇）。

11. 制作过程中遇到的问题

• GPU 当时处于占用状态。 GPU 节点的一张卡正被其他学习任务占用。为了不干扰该任务，我们在 CPU 节点上使用 Mesa 的软件渲染器（OSMesa、llvmpipe）进行绘制。1280×720 的简单场景耗时 32 ms，包含显示和字幕在内的最终渲染帧平均耗时 79 ms（1,967 帧耗时 2 分 36 秒）。
• 屏幕投影发生除以零错误。 为了将字幕的指示线贴到三维点上，我们读取了相机的视场角（frustum），但场景更新后不久，frustum 的宽度为 0。由于这是在渲染阶段由屏幕宽高比填充的值，因此我们改用相同的公式（高度 × 宽高比）进行计算。
• 圆柱体尺寸的顺序不匹配。 我们将落点标记放入了一个扁平的圆柱体中，结果却出现了一个高 4 cm 的圆柱桶。直接放入场景中的圆柱体尺寸顺序不是（半径、半径、高度），而是（半径、半高）。
• 观测数量多了一个。 0.2 s 的画面上显示“拍摄观测 25 个”，但录制的决策记录中只有 24 个。环境是在 1 ms 周期的 开始时 拍摄的，而决策是在该周期的 前方进行的，因此 0.200 s 时拍摄的点在决策瞬间尚不存在。屏幕显示也按照此规则进行了修正，并通过断言（assert）与决策记录保持一致性绑定。
• 字体中缺少减号。 数学减号（U+2212）在南哥体（NaNumGothic）中显示为方框。画面文字已替换为连字符。
• 龙门架框架遮挡了场景。 最初绘制的是带有上下导轨和柱子的框架，但在从机器人背面观察的每个场景中，顶部的导轨都挡住了球的路径。在仅用于展示的模型中移除了顶部导轨，仅保留底部导轨和移动柱。这不会对物理产生影响（物理模型的机器人除了球拍外本来就没有其他几何形状）。
• 视频元数据。 ffmpeg 默认会将编码器名称写入容器，而 x264 会将编码器设置字符串写入视频内部。由于博客的视频检查会拒绝这两者，因此我们用 -map_metadata -1 -map_chapters -1 -fflags +bitexact -flags:v +bitexact 和 -bsf:v filter_units=remove_types=6 进行了清除，9 个剪辑均通过了检查函数。整个 65.6 秒的视频超出了单篇文章 30 秒的限制，因此在文章中将其拆分为按阶段的剪辑分别插入。

12. 局限性与未测量项

• 仅为一个球。 本文中的数字仅代表第 201 号评估球这一个数据。对于其他球，重新规划的时机以及触及轴极限的程度会有所不同。分布情况请参考第 5 篇和第 7 篇中的 500 个评估数据。
• sim-to-real 迁移、实际相机延迟、旋转估计准确度、球拍橡胶的反弹与摩擦、轴极限等，与第 7 篇一样，均采用设定值且未进行实际测量。
• 插值。 视频中的慢动作场景是通过对 1 ms 记录之间进行线性插值绘制的。短于 1 ms 的接触内变化（以 0.5 ms 物理步长为单位）在视频中不可见。
• 仅用于展示的几何体。 导轨、滑块、手腕和手柄的形状仅供示意，并非硬件设计（第 3 篇）的尺寸。只有球拍板（15×16 cm，厚度 14 mm）和关节布局与物理模型相同。

13. 转到下一篇

接下来是将低球和扩展工作空间的深度轴加入机器人模型中，并再次运行相同的评估（第 7 篇中预告）。我们将直接使用当前的录制与渲染工具，通过相同的七个步骤来展示当出现深度轴时，“击球时刻”的定义会发生怎样的变化。

TT 的一言。 过去只能通过成功率表格看到的机器人，跟着一个球看下来，发现在最后 39 ms 重新规划路径、即使被要求达到极限 8 倍的性能也能把球打进球拍的场景。一个数字背后竟然隐藏着如此惊心动魄的瞬间！

参考

外部链接与第 7 篇的地址相同（已确认在第 7 篇中于 2026-10-18 开放）。

• MuJoCo: https://github.com/google-deepmind/mujoco
• 公开初始小球状态: https://github.com/google-deepmind/competitive_robot_table_tennis（© 2025 Google LLC, CC BY 4.0. 数据未重新分发，仅刊载了仿真结果。）
• 字幕字体: Nanum Gothic（SIL Open Font License 1.1, Ubuntu fonts-nanum 软件包）
• 延伸阅读: 第 5 篇 经典控制基准, 第 6 篇 DeepMind 乒乓球机器人改进方向, 第 7 篇 乒乓球机械臂强化学习
• “乒乓球机械臂基础”: 第 4 篇 逆运动学, 第 6 篇 球飞行方程, 第 7 篇 击球方程, 第 8 篇 轨迹生成, 第 9 篇 控制
• 引用的代码以及图表和视频的轨迹均为 TT Lab 实验代码的输出。