控制：PID、前馈、计算力矩、FOC 电流环与位置环的分层、控制周期

状态：草案（2026-10-18），实测。 数字是通过笔记本电脑（Apple M1 Max，macOS 26.5）上的 Python 3.9.6 和 numpy 2.0.2 计算得出的 数值仿真 值。 关节、手臂和电机的物理常数均为假设值，没有一个是通过真实电机和控制器测得的（硬件未实测）。原始数据与代码：工作目录 measure/robot-arm-basics/的 m09_control.py, out/m09_control.json。参考资料查阅于 2026-10-18。 编写规则：以实测数据为基础，未能测出的标为“未实测”，无法确认的标为“未确认”。

目录

• 1. 直觉：跟踪的两种方法
• 2. 图解：控制的分层
• 3. 计算
  • 3.1 PID 与前馈
  • 3.2 计算力矩控制
  • 3.3 电流环
  • 3.4 仿真设置
• 4. 实测（仿真）
  • 4.1 控制器与控制周期
  • 4.2 电流环延迟对位置环的影响
  • 4.3 电流环本身：在 30 kHz 下能做多快
  • 4.4 双连杆手臂：耦合与重力
• 5. 局限性
• 6. 总结
• 参考

1. 直觉：跟踪的两种方法

想象一个驾驶员在跟车。其中一个驾驶员只看与前车的距离。距离远了就踩油门，近了就松油门。总是慢了一拍。另一个驾驶员看着前 车的刹车灯和道路标志，提前知道 前车要做什么 。因此，他在距离拉开之前就会踩油门。前者是反馈（feedback），后者是 前馈（feedforward）。

乒乓球机器人的轨迹在第 8 篇中已经全部计算好了。每一瞬间想要的位置、速度和加速度都是已知的。因此，没有理由不使用前馈。 反馈只需要根据模型的不准确之处进行修正即可。本文通过仿真来衡量这种差异有多大，以及为什么控制周期和电机内部的电流环如此重要。

2. 图解：控制的分层

• 轨迹生成器（第 8 篇）生成 q_r、q̇_r、q̈_r。
• 位置·速度环根据误差决定力矩，并加上通过动力学计算出的力矩。本系列中的仿真为 1 kHz。
• 电流环将力矩指令转换为电机电流。由于无刷电机的力矩与转子磁铁正交方向的电流 i_q 成正比，因此将三相电流转换到转子参考 坐标系（d-q 轴）下，仅控制 i_q。这就是 FOC（field oriented control，磁场定向控制）。

观察开源电机控制器会发现，不同层级的周期各不相同。moteus 的文档中记载，位置环和电流环都以开关频率（默认 30 kHz）运行。 ODrive 0.6.12 文档解释了控制循环计数器，并假设控制环频率为 8 kHz。其上层的机器人控制器通常要慢得多。Koç 等人 2018 年的 乒乓球机器人使用 500 Hz 的实时控制，Google 2023 年的学习策略使用 100 Hz，Google DeepMind 2024 年的低级技能以 50 Hz 发送指令。

3. 计算

3.1 PID 与前馈

PD:            τ = K_p e + K_d ė                         e = q_r − q
PID:           τ = K_p e + K_d ė + K_i ∫e dt
PD + 앞먹임:   τ = J q̈_r + b q̇_r + τ_c sign(q̇_r)  +  K_p e + K_d ė
                   └ 역동역학(관성·점성·쿨롱 마찰) ┘    └ 되먹임 ┘

增益根据惯量 J 和目标带宽 ω_n 设定：K_p = J ω_n²，K_d = 2 J ω_n（临界阻尼）。所有比较均使用相同的 ω_n = 2π·20 Hz。

3.2 计算力矩控制

如果手臂有多个关节，一个关节的加速度会对其他关节施加力（惯性耦合）。离心力、科里奥利力和重力也因姿态而异。手臂整体的运动方程式如下 所示。

M(q) q̈ + C(q, q̇) q̇ + g(q) = τ

计算力矩（computed torque）控制直接使用该公式来消除耦合。《Modern Robotics》公式 (11.35) 就是这种形式，该书还指出在实际应用中 K_i 通常设为 0。

τ = M̃(q) (q̈_r + K_p e + K_d ė) + C̃(q, q̇) q̇ + g̃(q)          (~ 는 모델 값)

如果模型准确，每个关节的误差将遵循彼此独立的二阶方程：ë + K_d ė + K_p e = 0。

3.3 电流环

q 轴电流是由相电阻 R 和电感 L 组成的一阶电路。将 PI 增益设为 K_p = L ω_c、K_i = R ω_c，就可以抵消电路的极点，并获得带宽为 ω_c 的一阶响应。 由于数字控制器将用测量电流计算出的电压在 下一个周期 输出，因此如果 ω_c 相对于环路周期过大，就会由于这一个周期的延迟而产生振荡。

3.4 仿真设置

• 单关节： 惯量 J = 0.015 kg·m²，粘性摩擦 b = 0.02 N·m·s，库仑摩擦 0.1 N·m，力矩限制 6 N·m。仿真积分间隔为 20 µs，控制器在每个周期读取位置和速度，并在 下一个周期 输出计算出的力矩（一个周期延迟）。
• 参考轨迹： 第 8 篇的击打轨迹。在 0.12 s 内通过 0.6 rad，达到 10 rad/s（加速度为 0），停止 0.1 s，然后静止 0.1 s。
• 双连杆垂直手臂： 连杆 0.40·0.35 m，质量 1.2·0.7 kg，有重力。两个关节同时在 0.15 s 内分别以 6·8 rad/s 的速度通过击打姿态，并在 0.1 s 时停止。该 轨迹的动力学最大力矩为：1号关节 39.9 N·m，2号关节 17.4 N·m。

4. 实测（仿真）

4.1 控制器与控制周期

• 仅凭一个前馈，误差就减少了 20 倍以上。 PD 只有在产生误差时才会输出力矩，因此在整个加速阶段都会落后。而前馈则会提前输出所需的力矩。
• 积分项（PID）反而带来了负面效果。 在 0.2 秒的快速运动中，积分会不断累积并延迟释放，从而导致超调（overshoot）。积分是用来消除像重力这样缓慢变化的 偏差的工具，而不是用来快速跟踪轨迹的工具。
• 周期几乎呈线性改变误差，直到在某条界线处崩塌。 在有前馈的情况下，从 2 kHz → 1 kHz → 500 Hz，最大误差分别倍增至 0.21 → 0.42 → 0.86 mrad。这是因为单周期延迟直接转化为了误差。在 200 Hz（5 ms）下，对于 0.12 秒的挥拍动作，只有 24 次控制机会，因此前馈也呈现阶梯状输出，5 ms 的延迟与 20 Hz 的增益相互交织，导致了剧烈的晃动。击打瞬间的速度误差为 3.4 rad/s，若以 0.5 m 的手臂长度折算，球拍速度误差约为 1.7 m/s；如果将第 7 篇中的“0.1 m/s 带来 10 cm 偏差”按比例放大，落点将偏差 1 米以上。

如果提高增益会怎样？将 ω_n 提高一倍至 2π·40 Hz 后，PD 在 1 kHz 下的最大误差从 8.5 降至 2.2 mrad，但在 200 Hz 下误差却达到了 134 mrad，几乎发散。 在慢速环路中提高增益是危险的，而且即使在快速环路中，效果也不如前馈。

我们还测试了模型存在偏差的前馈。当惯量设小或设大 20% 时（1 kHz），最大误差分别为 1.8 和 1.9 mrad。虽然比准确模型（0.42）差了 4 倍，但 依然比 PD（8.5）好 4 倍。

4.2 电流环延迟对位置环的影响

上述实验假设指令力矩能够立即输出。实际上，电流环需要时间来产生力矩。假设力矩以带宽 f_i 的一阶延迟输出， 重新测量了 1 kHz PD + 前馈的误差。

当电流环带宽与位置环周期（1 kHz）相近时，几乎没有差异；而一旦降至 100 Hz 以下，误差就会增加两到三倍。“内环必须比外环 足够快”这一分层控制原则正是来源于这些数字。

4.3 电流环本身：在 30 kHz 下能做多快

对相电阻 0.2 Ω、电感 100 µH 的 q 轴电流进行了 30 kHz PI 控制下的 10 A 阶跃响应测试（电压限制 48 V，单周期延迟）。

当目标带宽超过环路频率的 1/15（2 kHz）时，开始出现超调；而在 1/4（8 kHz）时则实际上发生了振荡。这是因为单周期延迟（33 µs）削减了相位。 因此，通过 30 kHz 电流环可获得的实用带宽为 1~2 kHz，在其之上的位置环为数百 Hz~1 kHz，再之上的机器人策略为几十~数百 Hz。 这种结构使得每一层都比上一层慢大约 10 倍。

4.4 双连杆手臂：耦合与重力

• 仅进行重力补偿几乎没有改善。在快速挥拍过程中起主导作用的不是重力，而是 惯性和耦合项。
• 计算力矩产生的误差是 PD 的 1/24，即使质量存在 20% 的偏差，也比 PD 好 4~6 倍。

如果将力矩限制降低到 30 N·m（小于轨迹所需的 40 N·m），计算力矩的最大误差将达到 264 mrad，PD 为 218 mrad，两者均会崩塌。 控制器无法 求出无法实现的轨迹。 在创建轨迹时（第 8 篇），必须先确认逆动力学力矩是否在极限之内。

5. 限制

• 全部都是仿真。未计入减速器齿隙、皮带弹性、编码器噪声与量化、通信延迟的抖动以及电机的力矩-速度曲线（未实测）。
• 控制增益仅采用了一种规则。如果为每个周期单独调整增益，200 Hz 的结果可能会有所改善。
• 电流环被简化为了 q 轴单个 RL 电路。未涉及反电动势、d·q 轴耦合以及 PWM 的电压量化。

6. 总结

• 对于预先知道轨迹的机器人而言，最大的改进是 前馈。在相同的 PD 基础上加上逆动力学后，误差减小了 20 倍以上。
• 在多关节手臂中，计算力矩消除了耦合。即使模型有 20% 的误差，也比纯 PD 好得多。
• 控制周期在 1 kHz 左右就足够了，而在 200 Hz 下则无法跟上 0.1 秒的挥动动作。电流环的速度必须比这快 10 倍以上，30 kHz 电流环的实用带宽为 1~2 kHz。
• 挑选开源硬件部件时需要看这几个数字：电机控制器的位置环周期以及是否支持前馈力矩输入（moteus 的位置模式控制式中有前馈力矩项），还有上位机与电机控制器之间的通信周期。

Titi 的话。 既然已经知道球拍要去哪里，就没必要等到产生误差再去补救。只要先产生所需的力，反馈只需修正偏差的部分即可！

参考

所有资料均于 2026-10-18 查阅。

• Lynch, Park, Modern Robotics, 2017, 公开预印本，第 11 章（11.4 力矩输入控制，式 11.35）。
• mjbots, moteus docs/reference/theory.md（位置与电流环结构，默认 30 kHz）。
• ODrive Robotics, ODrive API Reference 0.6.12(n_evt_control_loop 说明中的 8 kHz 假设）。
• Koç, Maeda, Peters, RAS 105 (2018), 作者公开版，第 6.2 节（500 Hz 控制）。
• D'Ambrosio 等, arXiv:2309.03315（策略 100 Hz，ABB EGM 248 Hz）， arXiv:2408.03906（低级技术 50 Hz）。