状态：草稿（2026-10-18），实际测量。 本文中的数字是在一台笔记本电脑（Apple M1 Max, macOS 26.5）上使用 Python 3.9.6 和 numpy 2.0.2 直接计算得出的值。时间是 7 次重复计算的中位数，第一次运行作为预热被舍弃。原始数据和代码位于工作目录
measure/robot-arm-basics/(m01_budget.py,m01b_fast.py,out/m01_budget.json)中。没有一个数值是在实际机器人硬件上测得的（硬件未实测）。球的初始状态采用了 DeepMind 的公开数据集（CC-BY 4.0），乒乓球规格通过 ITTF Statutes 2026 原文进行了确认。所有参考资料均于 2026-10-18 查阅。编写规则：实测数据为基础，无法测量的标注为「未实测」，未能确认的标注为「未确认」。
目录
1. 直觉：必须在 0.6 秒内完成的七件事
人在对方球拍击球的瞬间就已经转动了身体。眼睛追踪着球，猜测它会在哪里弹起，然后将手臂向后引并挥拍。所有这一切都在不到一秒的时间内发生，并且大多数过程都是在无意识中进行的。
机器人必须通过一项项计算来解开这个过程。本系列将该计算过程分为七个步骤。
| 步骤 | 做的事情 | 涉及的篇章 |
|---|---|---|
| 1 感知（perception） | 从相机图像中寻找球并获取三维位置 | 第 2 篇（坐标转换） |
| 2 状态估计（state estimation） | 从带有噪声的位置序列中估计位置和速度 | 第 6 篇（卡尔曼滤波） |
| 3 飞行预测 | 利用重力、阻力、马格努斯力和反弹计算球的未来轨迹 | 第 6 篇 |
| 4 击球决策 | 决定何时何地击球、球拍的速度和拍面方向 | 第 7 篇 |
| 5 逆运动学（inverse kinematics） | 将球拍姿态转换为关节角度 | 第 3、4、5 篇 |
| 6 关节轨迹（trajectory） | 创建从当前姿态到击球姿态及速度的时间函数 | 第 8 篇 |
| 7 低层控制（low-level control） | 通过电机电流实际跟随该轨迹 | 第 9 篇 |
第 10 篇将结合乒乓球机器人论文，对比这些步骤中哪些应该通过方程求解，哪些应该交由学习算法处理。
本系列是将乒乓球机器人做成 开源硬件的准备过程。因此，每一个数字的编写都旨在引出「应该购买什么零件」。例如：关节速度上限为多少时球拍能达到多少 m/s（第 5 篇），球拍角度偏离 1° 会使球偏离多少厘米（第 7 篇），控制周期为 200 Hz 时会出现什么崩塌（第 9 篇）等。
2. 图示：七个步骤与我们代码的计算时间
- 右侧的数字是本系列各篇中测得的计算时间。由于这是用纯 Python 和 numpy 编写的教学代码，在实际机器人上可以大大缩短，但移植到 C++ 后能快几倍并未进行测量（未实测）。
- 橙色的两格（飞行预测、击球决策）负担最重。因为这两者都需要对球的轨迹进行数千步的积分。其余步骤都在微秒量级。
- 最后一步中的两个数字不是计算时间，而是重复周期。位置循环 1 kHz 是本系列的仿真设置，而电流循环 30 kHz 是开源电机控制器 moteus 文档中记载的默认开关频率（moteus theory.md).
3. 计算：球要多久才能飞到
时间预算的起点是球的飞行时间。为了进行直接测量，我们准备了两个东西。
球的初始状态。 Google DeepMind 公开的 competitive_robot_table_tennis 数据集包含 15,792 个由人或机器人击球 之后瞬间的球位置、速度和角速度（13,088 个拉力球，2,704 个发球）。该数据用于 D'Ambrosio 等人 2024 年的论文（arXiv:2408.03906)的训练，并以 CC-BY 4.0 授权发布。坐标系以乒乓球台顶面中心为原点，x 为宽度，y 为长度，z 为高度。本系列全篇均使用相同的坐标系。机器人站在 y < 0 的一侧。
飞行模型。 使用将在第 6 篇中详细讨论的运动方程，以 1 ms 的时间间隔进行 RK4 积分。
m · dv/dt = m·g − ½ ρ C_D A |v| v + ½ ρ A r C_M (ω × v)
중력 항력(drag) Magnus 힘
탁구대에 닿으면: 법선 속도에 반발 계수 e, 접선 방향은 쿨롱 마찰 μ
代码很简短。从数据集中挑选出朝向机器人飞来的球进行模拟，并记录球在机器人侧球台上弹起一次后穿过多个「击球平面」的时间。
incoming = [s for s in rallies + serves if s["vel_y"] < 0] # 로봇(y<0) 쪽으로 오는 공 14,703개
for s in incoming:
rec = fly(p, v, w, dt=1e-3, stop=lambda t, p, v, nb: p[1] < -2.2 or nb >= 2)
# 첫 바운스가 로봇 쪽 탁구대 안이면 유효. 이후 y = -1.37, -1.6, -1.9 를 지나는 시각·높이·속력을 기록
结果如下。在 14,703 个球中，有 11,590 个正确落在了机器人侧的球台上（其余为网球或出界），其中飞到底线（y = −1.37 m）的球有 10,618 个。
| 事件 | 第 5 百分位 | 中位数 | 第 95 百分位 |
|---|---|---|---|
| 击球后球速 (m/s) | 3.89 | 5.46 | 7.62 |
| 击球后旋转 (rad/s) | 9 | 49 | 100 |
| 至机器人侧反弹（秒） | 0.317 | 0.449 | 0.621 |
| 反弹后至顶点（秒） | 0.511 | 0.678 | 0.904 |
| 顶点高度（台面上方，m） | 0.20 | 0.30 | 0.45 |
| 通过底线 y = −1.37（秒） | 0.474 | 0.654 | 0.951 |
| 通过底线后 23 cm，y = −1.6（秒） | 0.538 | 0.745 | 1.082 |
| 通过底线时球速 (m/s) | 2.07 | 2.88 | 4.15 |
| 通过底线时高度（台面上方，m） | 0.06 | 0.24 | 0.38 |
计算时间为：模拟全部 14,703 个球耗时 130 秒，平均每个球约 9 ms。
如果是更快的球
本数据集中的球并不快。同一篇论文的附录将超过 7 m/s 的球归类为「快」，而上表中的第 95 百分位为 7.6 m/s。随着竞技水平的提高，球速会变快，因此我们进行了单独计算。在对方底线上方 45 cm 处沿 −y 方向以速度 v 击球，赋予 50 rad/s 的上旋，然后通过二分法调整上下速度，使其落在机器人侧的 y = −0.7 m 处（m01b_fast.py). 五种情况下均能过网。
| 击打速度 (m/s) | 至反弹（秒） | 通过底线（秒） |
|---|---|---|
| 6 | 0.452 | 0.682 |
| 8 | 0.338 | 0.496 |
| 12 | 0.226 | 0.321 |
| 16 | 0.170 | 0.238 |
| 20 | 0.136 | 0.190 |
Büchler 等人（2022）的气动肌肉机器人在扣球任务中报告称其击球速度平均约为 12 m/s（arXiv:2006.05935 v1). 要接住这种速度的球，预算为 0.32 秒。仅为数据集中心值的一半。
4. 按步骤划分时间
我们将 0.65 秒按步骤进行划分。重要的一点是，这些事情并非按顺序发生，而是重叠发生的。在观察球的同时，手臂已经在向准备姿势移动，并且每当有新帧输入时，预测就会被修正。
| 区段 | 花费时间 | 依据 |
|---|---|---|
| 观察球的时间 | 0.1~0.3秒 | 第 6 篇实测：仅观察前 0.1 秒进行预测时，击球面位置误差中位数为 7.0 cm（阻力模型）；观察 0.3 秒时为 4.8 cm |
| 单帧相机画面 | 8 ms (125 fps) | D'Ambrosio 等人 2023 年的相机设置（arXiv:2309.03315) |
| 系统延迟 | 球观测 40 ms，手臂动作 71 ms | 同一论文表 I（平均值）。2024 年论文将其总结为「系统延迟约 100 ms」 |
| 我们的计算（预测 + 击球决策 + IK + 轨迹） | 约 25 ms | 各篇实测值的总和：11 + 14 + 0.06 + 0.007 ms |
| 手臂到达击球姿态的时间 | 0.05~0.10秒 | 第 8 篇实测：通过 0.6 rad 且达到 10 rad/s 的五次多项式轨迹，在加速度极限 300~600 rad/s² 下为 0.062~0.082 秒 |
| 剩余裕度 | 其余部分 | 基于数据集中心值 0.65 秒约为 0.2 秒，若是 12 m/s 的球（0.32 秒）则几乎没有 |
从表中可以看出两点。
- 计算时间并非瓶颈。 即使使用教学用的 Python，也只需 25 ms。瓶颈在于需要观察足够长的时间才能使预测准确，以及相机、通信和控制器中累积的延迟。Google 的系统仅观测延迟就达到了 40 ms。
- 观察时间和运动时间会互相挤占。 观察时间越长，预测越好，但手臂运动的时间就越少。因此，实际系统从预测还很粗略时就开始将手臂引导至大致的准备姿势，并随着预测的不断完善而修改目标（第 8 篇的轨迹重规划）。
5. 本系列的通用模型与常量
所有篇章均使用相同的常量。对通过查阅原文确认的值与假设进行区分记录。
| 量 | 值 | 出处与条件 |
|---|---|---|
| 球质量与直径 | 2.7 g, 40 mm | ITTF Statutes 2026, 2.3.1·2.3.2 |
| 球台 | 2.74 × 1.525 m, 高度 76 cm | 同上文档 2.1.1 |
| 网高 | 15.25 cm | 同上文档 2.2.3 |
| 球台反弹系数 | e = 0.876 | 将 2.1.3 中的「从 30 cm 落下约为 23 cm」在无空气阻力下换算的值。第 6 篇将再次讨论 |
| 球台摩擦系数 | μ = 0.25 | Nakashima 等人 2010 年的滑动摩擦测量值 |
| 阻力系数 | C_D = 0.47 | 调整为与同一项目的 MuJoCo 仿真器中测得的有效值 0.471 相匹配。文献范围 0.37~0.55（Sony AI 2026 表 I） |
| 马格努斯系数 | C_M = 0.6（每单位质量 3.4×10⁻³） | 仿真器端笔记从 Tebbe 等人 2020 处搬运的值（原文未确认）。各文献差异超过 3 倍（第 6 篇） |
| 球拍反弹系数 | e_r = 0.8 | 介于文献值 0.788（Koç 等人 2018）与 0.81（Nakashima 等人 2010）之间 |
坐标系、质量、直径和球台规格与同一项目中正在制作的 MuJoCo 乒乓球仿真器相同。由于仿真器以 DeepMind 数据集笔记本的 MJCF 作为起点，因此可以直接将本文的球状态放入其中进行结果对照。
6. 局限性
- 飞行模型假设旋转在飞行过程中不会衰减。在 0.5 秒左右的飞行中，旋转衰减究竟有多大并未进行测量（未实测）。
- 数据集中的球是混合了人类和机器人的业余水平拉力球。未能查阅到运动员水平的球速分布的原始资料（未确认）。
- 「穿过底线的时间」只是机器人可以击球时间的代表值。实际击球点取决于机器人的工作空间和策略。 Koç 等人 (2018) 指出，固定的虚拟击球平面 (virtual hitting plane) 会不必要地限制轨迹，并同时优化了击球时间和击球点。 本系列简单地将 y = −1.6 m 平面作为基本击球面。
- 延迟数字是 Google 系统的测量值，而我们将要制造的硬件的延迟尚未测量。
7. 总结
- 对手击出的球根据数据集的中位数为 0.65 秒，如果是快球则在 0.2~0.3 秒后到达机器人面前。
- 计算很快。真正耗时的是「充分观察」、「延迟」以及「移动手臂」。
- 因此，在选择硬件时，首先要看的是相机帧率、延迟以及关节的加速度极限。从下一篇开始，我们将这些数字 逐一串联到计算中。
TT 的一句话。 在球飞来的 0.6 秒内，机器人要做七件事。计算很快就能完成，但真正让人头疼的是，观察球的时间越长，留给移动手臂的时间 就越少！
参考资料
所有资料均于 2026-10-18 查阅。
- ITTF, Statutes 2026, 第 2 章 The Laws of Table Tennis (2.1.1, 2.1.3, 2.2.3, 2.3.1, 2.3.2)。
- Google DeepMind, competitive_robot_table_tennis 初始球状态数据集，CC-BY 4.0。
- D'Ambrosio 等人, Achieving Human Level Competitive Robot Table Tennis, arXiv:2408.03906(ICRA 2025)。
- D'Ambrosio 等人, Robotic Table Tennis: A Case Study into a High Speed Learning System, arXiv:2309.03315(RSS 2023), 表 I。
- Büchler 等人, Learning to Play Table Tennis From Scratch using Muscular Robots, arXiv:2006.05935 v1。
- Koç, Maeda, Peters, Online optimal trajectory generation for robot table tennis, Robotics and Autonomous Systems 105 (2018), 作者公开版.
- Nakashima 等人, Modeling of Rebound Phenomenon of a Rigid Ball with Friction and Elastic Effects, ACC 2010, 机构存储库.
- Conti 等人 (Sony AI), Physics Models for Sim-to-Real Transfer in Professional-Level Robot Table Tennis, arXiv:2606.28805, 表 I。
- mjbots, moteus docs/reference/theory.md.