同为二阶滤波器，为什么结果不同

一句话总结

滤波器有两级，并不意味着就是同一个二阶响应。必须区分连接负载与极点配置，并同时确认频率响应和阶跃响应，才能选定设计。

为什么需要它

在前一个单元中，我们得出的结论是：没有任何单个 RC 能在降低温室风扇 875Hz 干扰的同时，保留 125Hz 的信号。现在设计会议上出现了三个建议：再接一个相同的 RC，在中间加入缓冲器，或者干脆使用另一种二阶滤波器。它们都用了两个电容，结果也相同吗？

我们不去通过改变条件来制造成功的数字，而是确认电路结构如何改变传递函数。保留原有的要求：期望的 125Hz 增益不低于 0.9，干扰的 875Hz 增益不高于 0.1。在此基础上，再增加时间要求：1V 阶跃输入的过冲电压≤0.05V，观测到的 2% 建立时间≤10ms。因为对正常的急剧变化反应过大的传感器，只看两个频率点是很难采用的。

这个实验是理想的线性滤波器。缓冲器是 ngspice 的受控电压源，不具备真实运算放大器的带宽、电源、输出限制和压摆率。不要把这一阶段所选的电路，扩大为对实物电路元件值的推荐或对其工作的保证。

工作原理

AC 分析中的数字不是时域波形

AC 分析会针对每个频率，求出输入和输出的复数电压。实部和虚部不是不同传感器的值，而是表示一个电压的幅度和相位的两个分量。先计算传递函数 H=Vout/Vin，然后增益是 |H|，电压增益的 dB 是 20log10|H|，相位是把 atan2(Im H,Re H) 换算成度数的值。

ngspice 控制语言教程展示了 AC 输出中复数向量以实部、虚部两列记录的格式。这次的文件共有 5 列：频率、输入实部、输入虚部、输出实部、输出虚部。表头中 v(in) 和 v(out) 各出现两次，并不是重复的错误。

提供的输入是 AC 幅度 0.5、1、2V 和相位 23 度。如果不除以输入，改变幅度时增益也会改变，输入的相位也会混进滤波器的相位。为了避免只有在 1V 输入时输出幅度碰巧吻合的实现，也要检查其他幅度。这里不能把 10log10 用于电压比。另外，如果只用 atan(Im/Re)，在实部为负的区间就会丢失象限。

观测范围是 10Hz 到 10kHz，每十倍频程 80 个区间，共 241 个点。125Hz 和 875Hz 用另外的小范围线性观测来精确包含。不要把对数扫描中最接近的点，当作所要求的频率。如果输出恰好为 0，增益是 0，但对数和相位不是有意义的有限数字，所以在报告中保留为 null。

把两个 RC 连在一起时产生的新项

设 R=1kΩ，C=1/(2πRf₀)，p=jf/f₀。一个 RC 是 H=1/(1+p)。用理想缓冲器隔开的两个相同的 RC 是 H=1/(1+p)²，展开分母就是 1+2p+p²。因为每一级都看不到另一级的负载，所以可以把两个传递函数相乘。

如果不用缓冲器而直接连接，第二个 R 和 C 就成了第一级输出的负载。单独列出中间节点的电压，再建立电流之和的方程，得到 H=1/(1+3p+p²)。多出来的 p 项改变了衰减和时间响应。Analog Devices 的 RC 级联实验也说明，由于这种负载效应，各个响应的简单相乘可能与实际连接不同。

在 f=f₀ 处，三个电路的增益分别是 1/√2、1/2、1/3。后两个电路都是二阶，在该频率处相位也是 −90 度，但幅度并不相同。仅凭阶数，并不能在所有频率上决定通带的形状或衰减速度。必须区分高频下趋近的斜率与过渡带的实际值。

Sallen–Key 不仅选择阶数，也选择 Q

这次的单位增益 Sallen–Key，把输入经 R1 连到中间节点，从该节点经 R2 连到缓冲器输入，从中间节点经 C1 连到缓冲器输出，从缓冲器输入经 C2 连到地。缓冲器是读取输入并原样输出的理想模型。设置 R1=R2=R，C1=2QC，C2=C/(2Q)，则 H=1/(1+p/Q+p²)。

当 Q=1/√2 时，是二阶 Butterworth 响应。Analog Devices 的相位响应说明讨论了二阶响应的形状和相位转移随 Q 而变化。同时也区分了两个相同的一阶滤波器级联得到的响应，避免把它与二阶 Butterworth 混淆。本课程用相同 f₀ 的电路文件来比较它们。

这里的 f₀ 并不意味着所有电路的 −3dB 频率。对于 rc1 和二阶 Butterworth，这个含义是成立的，但不能原样套用到其他 Q 或带负载的 RC 上。所以配置字段也不叫 cutoff_hz，而是 f0_hz。从名称上就加以区分，就能减少在报告中赋予错误物理含义的情况。

在 f₀=220Hz 下直接计算，并通过仿真对照的代表值如下。下一个实验要求的不是直接返回这张表的函数，而是读取真实文件的函数。

电路	125Hz 增益	875Hz 增益	1V 阶跃过冲
一个 RC	约 0.869	约 0.244	约 0V
两个 RC，直接连接	约 0.545	约 0.053	约 0V
两个 RC，理想缓冲器	约 0.756	约 0.059	约 0V
Sallen–Key，Q=1/√2	约 0.952	约 0.063	约 0.043V
Sallen–Key，Q=1.4	约 1.267	约 0.066	约 0.301V

较高的 Q 会使期望频率的增益大于 1。这次的 AC 要求只规定了最小值，所以只看两个频率条件，可以让它通过。但在阶跃输入 5% 的过冲限制上，它会被淘汰。这并不是蒙混过关的例外，而是展示了要求列表中漏掉了什么的案例。如果平坦度或增益上限很重要，也必须作为单独的要求加以声明。

第一次进入容差带并不等于已经建立

输入在 1ms 之前为 0V，之后在 1µs 内上升到 1V，并保持到 50ms。从阶跃上升完成的 1.001ms 开始，以 10µs 的间隔对 4900 个采样点做线性插值。在这个网格上超过 1V 的最大量，就是 overshoot_v。找出位于 0.98–1.02V 之外的最后一个采样点，再把下一个采样点的时刻，记录为以上升完成为基准的相对时间。

如果选择第一次经过 1V 的时刻，就会漏掉振铃在后面再次走出容差带的情况。如果直到最后一个采样点都在带外，则 settled_at_s 为 null，如果所有采样点都在带内，则为 0。2% 容差带的边界包含在内。观测只持续到绝对时间 49.991ms，所以这个报告是在该有限观测区间和 10µs 网格之内的建立。这并不是此后永远稳定的证明，也不是对连续时间最大值的认证。

电路计算的最大时间间隔分别以 5µs 和 2.5µs 运行。在相同的 10µs 观测时刻，对照两个结果的最大差值是否在 10µV 以下。AC 传递函数在全部 241 个点和所要求的两个频率点上，用复数与解析模型比较。幅度相同而相位错误的电路，会在这项检查中被拒绝。收敛、模型一致和设计要求都满足，才能放入最终候选。

在现场相遇的样子

模拟验证岗位的自动化，并不只是把数字画得漂亮。必须能够重新找出输入了什么、实际电路是什么，以及针对规格的哪个项目有怎样的余量。同时保留 AC 结果和瞬态响应，就能说明用于去噪的滤波器，如何对正常信号的急剧变化做出反应。

NXP 的模拟验证岗位公告中确认的 Python 自动化、基础模拟量、验证计划和数据分析要求，被联系到了本课题的文件处理和条件判定上。这个实验并不能代替实际测量仪器的操作，或按温度、工艺进行的实物验证。

下一项实验要做什么

编写“配置验证 → 读取复数 AC 文件 → Bode 数值 → 传递函数 → 阶跃观测 → 综合要求判定 → 文件分析 → 比较 CLI”这 8 个步骤。最后，原样保管原始网表、配置、日志、AC 文件、阶跃文件，并汇报选择的理由。不要通过删除失败的条件来制造最终候选，而要把被排除出候选的理由，留在各个字段中。