正确的终值，过早读取也会出错

一句话总结

稳态的范围，与到达该状态所需的时间，是两个不同的验证项目。

为什么需要它

在一块开发板上运行良好的传感器，量产之后只有一部分超出了范围。电阻上标注的数字是标称值，并不是所有元件的实测值。再加上电源误差。仅凭一个标称计算正确，并不意味着设计余量充足。

使用多个 ±1% 的电阻，不能简单地把电压误差定为 ±1%。因为输出电压取决于电阻之间的比例。如果分压器只有上端变大，输出会下降，只有下端变大，输出会上升。让所有电阻按同样比例增大的实验，恰好漏掉了这种最坏的组合。

工作原理

如果电源和三个电阻各有两个端值，就要计算 16 种组合。在这个只有正电阻的电路中，当电源、下端、负载增大时输出增大，当上端增大时输出减小，所以端值的最小和最大决定了范围。对于非线性元件或复杂电路，并不存在永远只需看角点的通用规律。另外，由于没有给出均匀分布或正态分布，所以不能用这个范围来计算不良率。

如果在输出上连接电容 C，电压就不会瞬间变为最终值。在理想的一阶电路中，V(t)=Vfinal+(Vinitial-Vfinal)*exp(-t/τ)。时间常数是 τ=Rth*C。求 Rth 时，要把独立的理想电压源换成 0 V，也就是短路。因此，在这个电路中，上端、下端、负载三个电阻看起来都接到了地，并联在一起。如果把电源电阻设为无穷大，就会得到另一个时间常数。

如果要求相对最终值的剩余误差在 1% 以下，就是 exp(-t/τ)<=0.01，即 t>=-τ*ln(0.01)。“在 1τ 时约到达 63.2%”，与“稳定到 1%”是两种说法。增大 C 可以让变化变得更慢，但会与必须快速读取输入的时间预算相冲突。

在现场相遇的样子

ADC 的整个采样间隔与采集输入的时间，可能并不相同。必须一并确认数据手册中的采集时间、输入电路和允许的源电阻。本教材中的 100 nF 是为了教学而加在输出上的电容，并不意味着它是某个特定 ADC 的内部采样电容。在实际中，还要确认开关电阻、放大器稳定性和噪声。

边界与概率是不同的问题

当电源最高、上端电阻最小、下端和负载最大时，这个模型的输出达到最大。相反的组合则是最小。在这里数出全部 16 种组合，并不意味着测量了 16 件产品，而是把可能的边界展示出来。端值上出现了不好的结果，不能说有 1/16 的产品是不良品。如果不知道真实的分布和变量之间的相关性，这个比例就不存在。

在实际工作中，要把“常温标称值”“电气公差范围”“温度变化”“元件老化”分开记录。这次的 ±1% 没有加入温度系数或长期变化。因此，即使公差计算通过，也不意味着各温度下的验证已经完成。把所有未知的效应合在一起，随意加上 10% 的余量，看起来保守，但无法说明漏掉了什么，也无法说明这个数值的依据。

用三个点核验波形

RC 计算可以用初始值、一个时间常数之后、足够长的时间之后这三个点来确认。如果是另一个例子，从初始的 0 V 变化到最终的 2 V，τ=2 ms，那么 t=0 时是 0 V，t=2 ms 时约为 1.264 V，t=10 ms 时约为 1.987 V。如果电压超过了最终值，或者随着时间推移反而下降，就说明指数的符号或初始条件写错了。这种单调递增的性质，是这次被动一阶充电模型的性质，不能推广到有电感或有源电路中出现振荡的情形。

“5τ 就结束了”这种说法，也必须与要求的误差一起使用。5τ 之后的剩余误差约为 0.674%。对于 1% 的标准来说足够了，但对于要求小得多的误差的高分辨率转换器，可能就不够了。在 12 位下，满量程阶跃的半个 LSB 是整个范围的 1/8192，所以仅凭理想的一阶模型，也需要约 ln(8192)=9.01τ。实际采集阶跃的大小是否为满量程，以及其他误差预算，要另行确定。

电容的 100 nF 是 100×10⁻⁹ F。在 Python 中写成 100e-9，就能在计算之前统一单位。如果想把时间结果以 ms 显示，就在以 s 完成计算之后，输出时乘以 1000。如果在中间计算中混用 ms 和 s，即使响应差了一千倍，也会被画成平滑的曲线。图形看起来合理，与单位正确，是两种不同的验证。

最后，电源变成 0 V，并不意味着电阻也随之消失。从输出端看过去，上端电阻也连接到了地，所以会与其余两个电阻一起保留下来。把电路图重新画一遍，比死记一个复杂的公式，更能可靠地防止这类错误。

下一项检查

紧接着的测验会区分公差组合与时间标准。在最后一个模块的实验中，生成 16 种公差组合，并计算标称电路在 1 ms 之后到达了什么程度。请不要说使用了测量设备，而要在结果中说明这是“理想一阶模型的预测”。还要一并审查这样的权衡：把电阻增大可以减少功耗，但可能使输出阻抗变大。