• 工程数学完全征服 第3篇：复变函数与Z变换
  • 1. 复数体系完全征服
    • 1.1 复数的表示
    • 1.2 复数运算
    • 1.3 工程应用：相量分析
  • 2. 复变函数与解析函数
    • 2.1 复变函数
    • 2.2 复数微分与柯西-黎曼方程
    • 2.3 调和函数
    • 2.4 重要的解析函数
  • 3. 复积分
    • 3.1 路径积分(Line Integral)
    • 3.2 柯西积分定理(Cauchy's Integral Theorem)
    • 3.3 柯西积分公式(Cauchy's Integral Formula)
  • 4. 洛朗级数与留数定理
    • 4.1 泰勒级数与洛朗级数
    • 4.2 奇点分类
    • 4.3 留数(Residue)与留数定理
    • 4.4 用留数定理计算实积分
    • 4.5 在拉普拉斯逆变换中的应用
  • 5. Z变换
    • 5.1 定义与收敛域
    • 5.2 主要Z变换对
    • 5.3 Z变换的性质
    • 5.4 Z逆变换
    • 5.5 用Z变换求解差分方程
    • 5.6 数字滤波器设计
    • 5.7 用Python设计和分析数字滤波器
    • 5.8 FIR与IIR滤波器比较
  • 6. 拉普拉斯变换与Z变换的对应关系
    • 6.1 s平面与z平面的关系
    • 6.2 双线性变换 (Bilinear Transform)
  • 7. 在控制系统中的应用
    • 7.1 传递函数与稳定性分析
    • 7.2 离散控制系统
  • 总结与下一步
  • 参考资料

工程数学完全征服 第3篇：复变函数与Z变换

在电子/控制工程中，复数绝不只是单纯的数学抽象。交流电路分析中的相量(phasor)、拉普拉斯变换中的 $s = \sigma + j\omega$、Z变换中的单位圆、伯德图中的复频率响应 — 这一切都根植于复变函数论。本文将从复数体系出发，一路讲到留数定理、Z变换与数字滤波器设计，彻底征服这一整块内容。

1. 复数体系完全征服

1.1 复数的表示

直角坐标形式(Rectangular Form)： $z = x + iy = x + jy$

(电气工程中用 $j$ 代替 $i$，因为 $i$ 用来表示电流)

• 实部：$\text{Re}(z) = x$
• 虚部：$\text{Im}(z) = y$

极坐标形式(Polar Form)： $z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\angle\theta$

• 模(大小)：$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• 幅角(相位)：$\theta = \arg(z) = \arctan(y/x)$(需考虑所在象限)

欧拉公式(Euler's Formula)： $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

由此可得： $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

被誉为数学史上最美公式的欧拉恒等式： $e^{i\pi} + 1 = 0$

五个最重要的数($e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$)由一个式子连接在一起。

棣莫弗公式(De Moivre's Formula)： $(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

n次方根：$z^{1/n} = r^{1/n} e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$，$k = 0, 1, \ldots, n-1$

表示单位圆上 $n$ 等分的点。(1的n次方根：$W_N^k = e^{j2\pi k/N}$ — 会在FFT中出现！)

1.2 复数运算

加法/减法(直角坐标形式更方便)： $(x_1 + iy_1) \pm (x_2 + iy_2) = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$

乘法(极坐标形式更方便)： $(r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

模相乘，相位相加 — 这是电气工程中阻抗相乘的基础。

除法： $\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

共轭复数(Complex Conjugate)： $\bar{z} = x - iy = r e^{-i\theta}$

有用的性质：

• $z\bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$
• $\text{Re}(z) = (z + \bar{z})/2$
• $\text{Im}(z) = (z - \bar{z})/(2i)$
• $|\bar{z}| = |z|$，$\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$

1.3 工程应用：相量分析

复数的威力，在交流电路分析中得到了充分发挥。

将 $v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi)$ 表示为相量： $\mathbf{V} = V_m e^{j\phi} = V_m\angle\phi$

阻抗(Impedance)：

$Z_R = R \quad (\text{纯电阻，无相位差})$ $Z_L = j\omega L \quad (\text{电感，相位超前+90度})$ $Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{-j}{\omega C} \quad (\text{电容，相位滞后-90度})$

串联RLC阻抗： $Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C} = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

模：$|Z| = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}$

相位：$\phi = \arctan\!\left(\frac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\right)$

谐振条件：$\omega_0 L = 1/(\omega_0 C)$ → $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$，$Z = R$(纯电阻)

传递函数(Transfer Function)： $H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}$

这就是拉普拉斯域中的 $H(s)|_{s=j\omega}$，也是伯德图的基础。

2. 复变函数与解析函数

2.1 复变函数

$f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)$

其中 $u, v$ 是实值函数。

示例： $f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)$

$u(x,y) = x^2 - y^2, \quad v(x,y) = 2xy$

$f(z) = e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$

$u(x,y) = e^x\cos y, \quad v(x,y) = e^x\sin y$

2.2 复数微分与柯西-黎曼方程

$f(z)$ 的复数导数： $f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$

与实数不同，$\Delta z$ 必须能在复平面上任意方向趋近于0，且极限值都相同。

沿x轴方向($\Delta z = \Delta x$)： $f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$

沿y轴方向($\Delta z = i\Delta y$)： $f'(z) = \frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$

两个表达式要相等，需要满足：

$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}$

这就是柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equations)。

若 $u, v$ 的偏导数连续，且满足柯西-黎曼方程，则 $f(z)$ 是解析函数(Analytic Function)。

2.3 调和函数

解析函数的实部和虚部，分别满足拉普拉斯方程：

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

$\nabla^2 v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$

证明：由柯西-黎曼方程可得 $u_{xx} = v_{yx}$，$u_{yy} = -v_{xy}$，因此 $u_{xx} + u_{yy} = v_{yx} - v_{xy} = 0$(混合偏导数可交换求导顺序)。

已知 $u$ 时，可利用柯西-黎曼方程求出 $v$(调和共轭函数)。

工程意义：势流理论中速度势与流函数的关系，静电学中电势与电力线的关系。

2.4 重要的解析函数

指数函数 $e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$：

• 在整个复平面上解析
• $(e^z)' = e^z$
• $|e^z| = e^x$，$\arg(e^z) = y$

三角函数： $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

• $\cos z$、$\sin z$ 在整个复平面上解析
• 与实数三角函数不同，模可以趋向无穷大：$|\cos(iy)| = \cosh y \to \infty$

双曲函数： $\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}, \quad \sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

$\cos(iz) = \cosh z, \quad \sin(iz) = i\sinh z$

对数函数(多值函数)： $\ln z = \ln r + i(\theta + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$

主值(principal value)：$\text{Ln}\,z = \ln r + i\theta$，$-\pi < \theta \leq \pi$

在 $z = 0$ 与负实轴上会出现奇异性(分支切割，branch cut)。

3. 复积分

3.1 路径积分(Line Integral)

$C$：复平面上的曲线(参数化 $z(t) = x(t) + iy(t)$，$a \leq t \leq b$)

$\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt$

示例：$\int_C z^2\,dz$($C$：从原点到 $1+i$ 的直线)

参数化：$z(t) = t + it$，$z'(t) = 1+i$，$0 \leq t \leq 1$

$\int_0^1 (t+it)^2(1+i)\,dt = \int_0^1 t^2(2i)(1+i)\,dt = (2i)(1+i)\cdot\frac{1}{3} = \frac{2i+2i^2}{3} = \frac{-2+2i}{3}$

3.2 柯西积分定理(Cauchy's Integral Theorem)

$\oint_C f(z)\,dz = 0$

条件：$f(z)$ 在单连通闭曲线 $C$ 上及其内部解析。

直观理解：解析函数的积分与路径无关。

与格林定理的关系：

$\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u+iv)(dx+idy) = \oint_C (u\,dx - v\,dy) + i\oint_C (v\,dx + u\,dy)$

应用格林定理和柯西-黎曼方程，两项都为0。

路径无关性：闭曲线积分为0 ↔ 积分与路径无关

原函数(antiderivative)：若 $F'(z) = f(z)$，则 $\int_a^b f(z)\,dz = F(b) - F(a)$

3.3 柯西积分公式(Cauchy's Integral Formula)

$\boxed{f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}\,dz}$

条件：$f(z)$ 在 $C$ 上及其内部解析，$a$ 位于 $C$ 内部。

解读：$f(z)/(z-a)$ 在 $z = a$ 处有一个极点。柯西公式说明，极点周围的积分与函数值直接相关。

高阶导数公式： $f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$

这说明了解析函数可以无限次求导！

4. 洛朗级数与留数定理

4.1 泰勒级数与洛朗级数

泰勒级数：若 $f(z)$ 在 $z = z_0$ 附近解析，则： $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n, \quad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$

洛朗级数(Laurent Series)：若 $f(z)$ 在环形区域 $r_1 < |z - z_0| < r_2$ 上解析，则：

$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-z_0)^n}$

负幂次部分称为主要部分(principal part)。

4.2 奇点分类

当 $f(z)$ 在 $z = z_0$ 处不解析时：

可去奇点(Removable Singularity)：洛朗级数中没有负幂次项。

$\frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} - \cdots \quad (z=0\text{ 为可去奇点})$

只要在 $z = 0$ 处赋予函数值1，函数就变为解析的。

m阶极点(Pole of Order m)：有限个负幂次项。

$f(z) = \frac{1}{(z-z_0)^m}(\text{解析函数}) \quad (m\text{阶极点})$

本性奇点(Essential Singularity)：无穷多个负幂次项。

$e^{1/z} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2!z^2} + \cdots \quad (z=0\text{ 为本性奇点})$

皮卡定理：在本性奇点附近，函数值几乎能取遍所有复数。

4.3 留数(Residue)与留数定理

留数的定义：$f(z)$ 的洛朗级数中 $(z-z_0)^{-1}$ 项的系数。

$\text{Res}[f, z_0] = b_1 = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=\epsilon} f(z)\,dz$

留数的计算方法：

单极点($m=1$)： $\text{Res}[f, z_0] = \lim_{z\to z_0}(z - z_0)f(z)$

有理函数 $f = p/q$(单极点)： $\text{Res}[f, z_0] = \frac{p(z_0)}{q'(z_0)}$

m重极点： $\text{Res}[f, z_0] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]$

留数定理(Residue Theorem)：

$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \text{Res}[f, z_k]$

$z_k$ 是 $C$ 内部的所有奇点。

4.4 用留数定理计算实积分

复变函数论最强大的应用之一：把很难计算的实积分变得简单。

例1：$\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}$

$f(z) = 1/(1+z^2) = 1/[(z+i)(z-i)]$

使用上半平面的半圆路径。$z = i$ 是上半平面的单极点：

$\text{Res}[f, i] = \lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z+i)(z-i)} = \frac{1}{2i}$

当 $R \to \infty$ 时，半圆弧的贡献趋于0(约当引理)。

$I = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi$

因此 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \pi$(验证：$\arctan(x)\Big|_{-\infty}^{\infty} = \pi$)

例2：$\displaystyle I = \int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx \quad (a > 0)$

$f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2+a^2} = \frac{e^{iz}}{(z+ia)(z-ia)}$

上半平面的极点：$z = ia$

$\text{Res}[f, ia] = \frac{e^{i(ia)}}{2ia} = \frac{e^{-a}}{2ia}$

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx = 2\pi i \cdot \frac{e^{-a}}{2ia} = \frac{\pi e^{-a}}{a}$

只取实部： $I = \int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx = \frac{\pi e^{-a}}{2a}$

例3：$\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}$

令 $z = e^{i\theta}$，$dz = iz\,d\theta$，$\cos\theta = (z + z^{-1})/2$：

$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta} = \oint_{|z|=1}\frac{dz/iz}{2+(z+z^{-1})/2} = \oint\frac{2\,dz}{i(z^2+4z+1)}$

极点：$z = -2 \pm \sqrt{3}$。位于单位圆内部的是：$z_1 = -2 + \sqrt{3}$

$= 2\pi i \cdot \frac{2}{i \cdot 2(z_1 - z_2)} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$

4.5 在拉普拉斯逆变换中的应用

布罗姆维奇积分(Bromwich Integral)：

$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}\,ds$

这是 $s$ 平面上沿一条竖直线的路径积分，若用一个包含左侧所有极点的半圆把路径闭合起来，就可以应用留数定理：

$f(t) = \sum_k \text{Res}\left[F(s)e^{st}, s_k\right]$

示例：$F(s) = 1/(s^2+\omega^2)$ 的拉普拉斯逆变换

极点：$s = \pm i\omega$

$\text{Res}\left[\frac{e^{st}}{s^2+\omega^2}, i\omega\right] = \frac{e^{i\omega t}}{2i\omega}$

$\text{Res}\left[\frac{e^{st}}{s^2+\omega^2}, -i\omega\right] = \frac{e^{-i\omega t}}{-2i\omega}$

$f(t) = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i\omega} = \frac{\sin\omega t}{\omega}$

验证：$\mathcal{L}\{\sin\omega t/\omega\} = 1/(s^2+\omega^2)$ ✓

5. Z变换

5.1 定义与收敛域

离散时间信号 $x[n]$ 的Z变换：

$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$

$z = re^{j\Omega}$ 是复变量。收敛条件：$\sum|x[n]||z|^{-n} < \infty$

收敛域(ROC, Region of Convergence)：

• 单边因果信号：$|z| > r_{\max}$(极点之外)
• 单边反因果信号：$|z| < r_{\min}$(极点之内)
• 双边信号：环形区域 $r_1 < |z| < r_2$

5.2 主要Z变换对

单位脉冲： $x[n] = \delta[n] \Rightarrow X(z) = 1, \quad \text{对所有 } z$

单位阶跃： $x[n] = u[n] \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-1} = \frac{1}{1-z^{-1}}, \quad |z| > 1$

指数信号： $x[n] = a^n u[n] \Rightarrow X(z) = \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}}, \quad |z| > |a|$

正弦信号： $x[n] = \cos\Omega_0 n \cdot u[n] \Rightarrow X(z) = \frac{z(z-\cos\Omega_0)}{z^2 - 2z\cos\Omega_0 + 1}, \quad |z| > 1$

$x[n] = \sin\Omega_0 n \cdot u[n] \Rightarrow X(z) = \frac{z\sin\Omega_0}{z^2 - 2z\cos\Omega_0 + 1}, \quad |z| > 1$

单位斜坡： $x[n] = nu[n] \Rightarrow X(z) = \frac{z}{(z-1)^2}, \quad |z| > 1$

5.3 Z变换的性质

线性性： $\mathcal{Z}\{ax[n] + by[n]\} = aX(z) + bY(z)$

时移： $\mathcal{Z}\{x[n-k]\} = z^{-k}X(z)$

$z^{-1}$ 就是单位延迟算子。差分方程由此变为代数方程！

z缩放(频移)： $\mathcal{Z}\{a^n x[n]\} = X(z/a)$

时间反转： $\mathcal{Z}\{x[-n]\} = X(z^{-1})$

卷积(Z变换的核心)： $\mathcal{Z}\{x[n]*h[n]\} = X(z)H(z)$

LTI系统分析的核心：卷积变成了乘法！

初值定理： $x[0] = \lim_{z\to\infty} X(z)$

终值定理： $\lim_{n\to\infty} x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)$

5.4 Z逆变换

部分分式法：

$X(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \sum_k \frac{A_k z}{z - p_k}$

$p_k$ 为极点，$A_k = [(z-p_k)X(z)/z]_{z=p_k}$

示例：$X(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z-0.5)}$

$\frac{X(z)}{z} = \frac{z}{(z-1)(z-0.5)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-0.5}$

$A = \left.\frac{z}{z-0.5}\right|_{z=1} = 2, \quad B = \left.\frac{z}{z-1}\right|_{z=0.5} = -1$

$X(z) = \frac{2z}{z-1} - \frac{z}{z-0.5}$

$x[n] = 2u[n] - (0.5)^n u[n] = [2 - (0.5)^n]u[n]$

幂级数展开法(长除法)：

$X(z) = x[0] + x[1]z^{-1} + x[2]z^{-2} + \cdots$

将 $X(z)$ 展开为 $z^{-1}$ 的幂级数，即可直接读出 $x[n]$。

5.5 用Z变换求解差分方程

示例：$y[n] - 0.5y[n-1] = x[n]$，初始静止状态，$x[n] = u[n]$

应用Z变换(初始条件为0)： $Y(z) - 0.5z^{-1}Y(z) = X(z) = \frac{z}{z-1}$

$Y(z)(1 - 0.5z^{-1}) = \frac{z}{z-1}$

$Y(z) = \frac{z/(z-1)}{1 - 0.5z^{-1}} = \frac{z^2}{(z-1)(z-0.5)}$

用部分分式做逆变换(与上例相同)： $y[n] = 2u[n] - (0.5)^n u[n] = [2 - (0.5)^n]u[n]$

当 $n \to \infty$ 时 $y[\infty] = 2$(用终值定理验证：$(z-1)\cdot z^2/[(z-1)(z-0.5)]|_{z=1} = 1/0.5 = 2$)

5.6 数字滤波器设计

传递函数 H(z)：

LTI系统的输出与输入之比： $H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}$

零点(zero)：使 $H(z) = 0$ 的 $z$ 值

极点(pole)：使 $H(z) = \infty$ 的 $z$ 值

稳定性条件：所有极点都必须位于单位圆内部。

$\text{稳定} \Leftrightarrow \text{所有极点 } p_k: |p_k| < 1$

FIR滤波器(有限脉冲响应)： $H(z) = b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}$

极点只在原点，因此总是稳定。可以实现线性相位特性。

IIR滤波器(无限脉冲响应)： $H(z) = \frac{B(z)}{A(z)}$

只要极点位于单位圆内部就稳定。用较少的系数即可实现陡峭的特性。

5.7 用Python设计和分析数字滤波器

from scipy import signal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. IIR滤波器：巴特沃斯低通
N_order = 4   # 滤波器阶数
Wn = 0.2      # 归一化截止频率 (0~1, 1 = 奈奎斯特频率)

b, a = signal.butter(N_order, Wn, btype='low')
print("巴特沃斯LPF系数:")
print(f"  b = {b}")
print(f"  a = {a}")

# 2. 频率响应
w, h = signal.freqz(b, a, worN=2048)

# 3. 极-零点图
zeros, poles, gain = signal.tf2zpk(b, a)
print(f"\n零点: {zeros}")
print(f"极点: {poles}")
print(f"增益: {gain:.4f}")
print(f"极点模: {np.abs(poles)}")

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# 频率响应(幅度)
axes[0, 0].plot(w/np.pi, 20*np.log10(abs(h) + 1e-15), 'b-', linewidth=2)
axes[0, 0].axhline(y=-3, color='r', linestyle='--', label='-3dB')
axes[0, 0].set_xlabel('归一化频率 (x pi rad/samples)')
axes[0, 0].set_ylabel('幅度 (dB)')
axes[0, 0].set_title('巴特沃斯LPF频率响应(幅度)')
axes[0, 0].set_xlim([0, 1])
axes[0, 0].set_ylim([-80, 5])
axes[0, 0].legend()
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 相位响应
angles = np.unwrap(np.angle(h))
axes[0, 1].plot(w/np.pi, angles*180/np.pi, 'g-', linewidth=2)
axes[0, 1].set_xlabel('归一化频率 (x pi rad/samples)')
axes[0, 1].set_ylabel('相位 (度)')
axes[0, 1].set_title('巴特沃斯LPF相位响应')
axes[0, 1].set_xlim([0, 1])
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)

# 极-零点图
unit_circle = np.exp(1j * np.linspace(0, 2*np.pi, 200))
axes[1, 0].plot(unit_circle.real, unit_circle.imag, 'k--', alpha=0.5)
axes[1, 0].scatter(zeros.real, zeros.imag, s=100, marker='o',
                   color='blue', zorder=5, label='零点')
axes[1, 0].scatter(poles.real, poles.imag, s=100, marker='x',
                   color='red', linewidths=2, zorder=5, label='极点')
axes[1, 0].axhline(0, color='gray', alpha=0.3)
axes[1, 0].axvline(0, color='gray', alpha=0.3)
axes[1, 0].set_xlabel('实部')
axes[1, 0].set_ylabel('虚部')
axes[1, 0].set_title('极-零点图 (z平面)')
axes[1, 0].legend()
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)
axes[1, 0].set_aspect('equal')

# 脉冲响应
imp = np.zeros(50)
imp[0] = 1.0
h_imp = signal.lfilter(b, a, imp)
axes[1, 1].stem(h_imp, markerfmt='bo', linefmt='b-', basefmt='k-')
axes[1, 1].set_xlabel('采样点 n')
axes[1, 1].set_ylabel('h[n]')
axes[1, 1].set_title('脉冲响应 (IIR 无限)')
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('digital_filter_analysis.png', dpi=150)
plt.show()

5.8 FIR与IIR滤波器比较

from scipy import signal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# FIR滤波器(窗函数法)
N_fir = 50
Wn = 0.2
h_fir = signal.firwin(N_fir + 1, Wn, window='hamming')

# IIR滤波器(巴特沃斯)
b_iir, a_iir = signal.butter(6, Wn, btype='low')

# 频率响应比较
w_fir, H_fir = signal.freqz(h_fir, [1], worN=2048)
w_iir, H_iir = signal.freqz(b_iir, a_iir, worN=2048)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

axes[0].plot(w_fir/np.pi, 20*np.log10(abs(H_fir)+1e-15),
             'b-', linewidth=2, label=f'FIR (N={N_fir})')
axes[0].plot(w_iir/np.pi, 20*np.log10(abs(H_iir)+1e-15),
             'r-', linewidth=2, label='IIR 巴特沃斯 6阶')
axes[0].set_xlabel('归一化频率')
axes[0].set_ylabel('幅度 (dB)')
axes[0].set_title('FIR vs IIR 频率响应')
axes[0].set_xlim([0, 1])
axes[0].set_ylim([-80, 5])
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 相位响应比较(FIR的线性相位特性)
ph_fir = np.unwrap(np.angle(H_fir))
ph_iir = np.unwrap(np.angle(H_iir))
axes[1].plot(w_fir/np.pi, ph_fir*180/np.pi,
             'b-', linewidth=2, label='FIR (线性相位)')
axes[1].plot(w_iir/np.pi, ph_iir*180/np.pi,
             'r-', linewidth=2, label='IIR (非线性相位)')
axes[1].set_xlabel('归一化频率')
axes[1].set_ylabel('相位 (度)')
axes[1].set_title('FIR vs IIR 相位响应')
axes[1].set_xlim([0, 0.5])
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('fir_vs_iir.png', dpi=150)
plt.show()

print("系数个数比较:")
print(f"  FIR: {len(h_fir)} 个系数")
print(f"  IIR: b={len(b_iir)}, a={len(a_iir)} 系数合计 {len(b_iir)+len(a_iir)}")

6. 拉普拉斯变换与Z变换的对应关系

6.1 s平面与z平面的关系

$z = e^{sT_s}, \quad s = \frac{1}{T_s}\ln z$

对于 $s = \sigma + j\omega$：

$z = e^{\sigma T_s}e^{j\omega T_s} = e^{\sigma T_s}\angle(\omega T_s)$

| s平面特性 | z平面特性 | | --------------------------------------- | ------------- | --- | ---- | | $j\omega$ 轴 ($\sigma = 0$) | 单位圆 $ | z | = 1$ | | 左半平面 ($\sigma < 0$) | 单位圆内部 $ | z | < 1$ | | 右半平面 ($\sigma > 0$) | 单位圆外部 $ | z | > 1$ | | 直流 ($s = 0$) | $z = 1$ | | 奈奎斯特频率 ($\omega = \pi/T_s$) | $z = -1$ |

稳定性对应：

• 连续系统：所有极点在左半平面 → 离散系统：所有极点在单位圆内部

6.2 双线性变换 (Bilinear Transform)

将模拟滤波器转换为数字滤波器的方法：

$s = \frac{2}{T_s}\cdot\frac{z-1}{z+1}$

会产生频率翘曲(frequency warping)：$\omega_{analog} = \frac{2}{T_s}\tan\!\left(\frac{\Omega_{digital}}{2}\right)$

需要用预翘曲(pre-warping)修正后再设计。

from scipy import signal
import numpy as np

# 模拟巴特沃斯原型
N = 4  # 滤波器阶数
Wn_analog = 2 * np.pi * 1000  # 1000 Hz 模拟截止频率

z_a, p_a, k_a = signal.buttap(N)
b_analog, a_analog = signal.zpk2tf(z_a, p_a, k_a)
b_analog, a_analog = signal.lp2lp(b_analog, a_analog, Wn_analog)

# 用双线性变换转换为数字滤波器
fs = 8000  # 采样频率
b_digital, a_digital = signal.bilinear(b_analog, a_analog, fs)

print("模拟滤波器极点:", np.roots(a_analog))
print("数字滤波器极点:", np.roots(a_digital))
print("数字极点模:", np.abs(np.roots(a_digital)))

7. 在控制系统中的应用

7.1 传递函数与稳定性分析

连续系统传递函数： $G(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)\cdots}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots}$

劳斯-赫尔维茨判据(Routh-Hurwitz Criterion)：

利用特征多项式 $a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0$ 的劳斯阵列，判断右半平面极点的个数。

奈奎斯特判据：

根据 $G(j\omega)$ 的奈奎斯特图对 $(-1, 0)$ 点的包围次数来判断稳定性。

7.2 离散控制系统

数字控制器的传递函数 $C(z)$：

PID数字实现(后向欧拉近似)：

$C(z) = K_p + K_i\frac{T_s z}{z-1} + K_d\frac{z-1}{T_s z}$

总结与下一步

本文涉及的内容：

1. 复数体系：直角坐标形式、极坐标形式、欧拉公式、棣莫弗公式、相量分析、阻抗
2. 复变函数与解析函数：复数微分、柯西-黎曼方程、调和函数
3. 复积分：路径积分、柯西定理、柯西公式
4. 洛朗级数与留数定理：奇点分类、留数计算、实积分应用、拉普拉斯逆变换
5. Z变换：定义、收敛域、主要变换对、求解差分方程
6. 数字滤波器设计：FIR/IIR、极-零点图、稳定性、双线性变换
7. s平面 vs z平面：稳定性条件对应关系

下一篇将讲解数值分析(Numerical Methods)。从方程求解、数值微分/积分、ODE数值解法、线性系统，到插值，全部用Python完整实现。

参考资料

• Churchill, R. & Brown, J. "Complex Variables and Applications", 9th Edition
• Oppenheim, A. & Schafer, R. "Discrete-Time Signal Processing", 3rd Edition
• Proakis, J. & Manolakis, D. "Digital Signal Processing", 4th Edition
• Ogata, K. "Modern Control Engineering", 5th Edition
• SciPy 信号处理官方文档